第13章能量法要点解析.ppt

第十三章 能 量 法 目 录 §13-1 概 述 §13-2 杆件变形能计算 §13-3 变形能的普遍表达式 §13-4 互等定理 §13-5 卡氏定理 §13-6 虚功原理 §13-7 单位载荷法 莫尔积分 §13-8 计算莫尔积分的图乘法 §13-1 概 述 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能。 物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即 =W §13-2 杆件变形能计算 一、轴向拉伸和压缩 二、扭转 三、弯曲 例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由端B的挠度。 §13-4 互等定理 功的互等定理: 例：求图示简支梁C截面的挠度。 §13.6 虚功原理 外力在虚位移所作虚功等于内力在相应虚变形上所作虚功。 13-7 单位载荷法 莫尔积分 莫尔定理（莫尔积分） 例：试用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 §13-8 计算莫尔积分的图乘法 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分： 例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。 例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的铅垂位移。 例 图示外伸梁的抗弯刚度EI已知，试求外伸端C 的挠度 和左端截面A的转角 。 解： 在外伸端C作用有集中力F，在截面A上有力偶 ，应用卡氏定理求C的挠度 为 端截面A的转角 为 应分段求出弯矩方程及其相应的导数，代入上式积分。 AB段内 BC段内 虚功原理可用于力与位移成非线性关系的结构。 例 求图示桁架各杆的内力。设三杆的横截面积相同，材料相同。 解：设A点铅垂位移为 ，杆1和杆2的伸长为 ， 由胡克定理得 设A点有铅垂虚位移为 。则外力虚功为 杆1因虚位移 引起的伸长为 杆2和杆3的伸长为 杆1内力虚功为 杆2和杆3的内力虚功为 由虚功原理，内力虚功和等于外力虚功 求出v，代入下式即可求得内力 (a) (b) (c) 对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分 直杆的M0(x)图必定是直线或折线。 顶点 顶点 二次抛物线 L F F 解（1）求自由端的挠度 F m=1 (2) 求自由端的转角 q M 解（1）简支梁的最大挠度 （2）求最大转角 最大转角发生在两个支座处 解： * 纯弯曲： 横力弯曲： 13-3 变形能的普遍表达式 即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。 所有的广义力均以静力方式，按一定比例由0增加至最终值。任一广义位移 与整个力系有关，但与其相应的广义力 呈线性关系。 F 解： 例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩Me作用。设EI为常数，试求梁的应变能。 L F Me A B 解： ⑴ 弯矩方程 ⑵ 变形能 L F Me A B ⑶ 当F和Me分别作用时 ⑷ 用普遍定理 例 图示轴线为水平面内四分之一圆周的曲杆，在自由端B作用垂直载荷F。设EI和GIp已知，试求截面B在垂直方向的位移。 解：设任意横截面的位置由圆心角 确定。 横截面上的弯矩和扭矩分别为 微段 内的应变能为 积分的整个曲杆的应变能为 若F力作用点沿垂直方向的位移为 ，在变形 过程中，集中力F所作的功应为 由 ，得 位移发生点 荷载作用点 F1 F2 F1 F2 F2 F1 位移互等定理: 一、为测定力F作用在梁的C点时梁的各截面的挠度，可将千分表沿梁移动进行测试。若不移动千分表而使力F沿梁移动，能否测量出F在C点作用时梁的各截面 的挠度？若能，千分表应放在何处？ 答：利用位移互等定理，力F作用在C截面时千分表处产生的位移等于力作用在千分表处时C截面产生的位移。因此，应将应千分表放在C截面处，沿梁移动力F即可测量出F在C点作 用时梁的各截面的挠度。 例：求图示悬臂梁中点 C 处的铅垂位移 。 F M 例: 图示装有尾架的车削工件简化为静不定梁。已知F、l、a和EI，试求B处约束力。 解：第一组力：F和FB 第二组力： 在 =1作用下，F和FB作用点的相应位移为 FB = 第一组力在第二组力引起的位移上所作的功为 13-5 卡氏定理 若只给 以增量 ，其余不变，在 作用下，原各力作用点将产生位移 变形能的增加量： 略去二阶小量，则： 如果把原有诸力看成第