第9章弯曲变形要点解析.ppt

* §9.1 工程中的弯曲变形问题 P A B §9.2 挠曲线的近似微分方程 一、弯曲变形的量度 y x 1. 挠曲线：变形后梁的轴线。 2. 挠度ω：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。向上为正。 x 挠曲线方程： 3. 转角θ：横截面绕中性轴转过的角度，即 y 轴与挠曲线法线的夹角，或 x 轴与挠曲线切线的夹角。逆时针方向为正。 小变形： 挠曲线 二、挠曲线近似微分方程 小变形： 挠曲线近似微分方程： §9.3 积分法求梁的变形 挠曲线近似微分方程： 转角方程 挠度方程 C、D ——积分常数；由边界条件和连续性条件确定。 边界条件—— 固定端：ω＝0；θ＝0； 铰支座：ω＝0； 弯曲变形的对称点：θ＝0。 连续性条件—— 挠曲线为一条连续光滑的曲线，即在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。 RB RA l A B q 例11-3-1：用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设EI为常量。 解：(1) 求支座反力，写弯矩方程 (2) 建立挠曲线近似微分方程，并积分 (3) 利用边界条件确定积分常数 (5) 求最大值 说明： (4) 求转角方程、挠度方程 l A B q 弯曲变形的对称点：θ＝0。 M 边界条件： { { 或 a 例11-3-2：用积分法求C截面的转角和挠度，设EI为常量。 l A B P C 解：(1) 求支座反力，分段写弯矩方程 (2) 分段建立挠曲线近似微分方程，并积分 RA RB (3) 确定积分常数 A B P C 边界条件 连续性条件 (4) C截面的挠度和转角 §9.4 叠加法求梁的变形 叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量（反力、内力、应力、变形）等于每个载荷单独作用时所引起的该参量的代数和。 叠加法：应用叠加原理计算梁的某一参量的方法。 前提条件：小变形，材料服从虎克定律。 * 表11-1 例11-4-1：用叠加法求C截面的转角和挠度，设EI为常量。 a l A B P C 解：(1) 假设CA段为刚性，研究简支梁AB的变形所引起的C截面的转角和挠度 P Pa A B C P A C (2) 假设AB段为刚性，外伸段CA看作悬臂梁： 表6.1第2栏 表6.1第5栏 (3) 叠加法求C截面的挠度和转角 例11-4-2 等截面平面刚架求自由端A的水平位移xA 和竖直位移yA。 a b EI C EI P A B 刚化AB A B P C 刚化 BC P C A B A B C Pa 等价 等价 P A B 解：(1) 刚化AB段： (2) 刚化BC段： 刚化AB: 刚化BC: (3) 叠加： A B C Pa P A B *逐段刚化法 2a A B q 例11-4-3：用叠加法求梁中点C挠度和梁端截面B的转角。 C D E 2l 解：荷载对跨度中点C对称，故C截面的转角为0。 表6.1第2栏 在RB作用下： 表6.1第4栏 在 q 作用下： B E q B E l q B E a §9.5 梁的刚度计算及提高梁刚度的措施 一、刚度条件： 叠加： 二、应用： 2 设计截面 1 刚度校核 3 确定许可载荷 例11-5-1下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的[? ]=0.001弧度,试核此杆的刚度. = + + = = + + 图1 图2 图3 解：?结构变换，查表求简单 载荷变形。 ?叠加求复杂载荷下的变形 ?校核刚度 §9.5.2 提高弯曲刚度的措施 挠曲线近似微分方程： 转角方程 挠度方程 C、D ——积分常数；由边界条件和连续性条件确定。 梁的弯曲刚度条件： 梁的弯曲正应力强度条件： 一、选择合理的截面 若I z 对于面积相等的不同形状的截面， 则ω、θ 梁的抗弯刚度提高。 工字形、槽形、T形截面比面积相等的矩形截面有更高的弯曲刚度。 说明：各种钢材的弹性模量E大致相同，故采用高强度钢材不能提高弯曲刚度。 选择截面的原则（安全而经济）： I z A 选择 —— 较大的截面 二、改善梁的受力情况 ，减小弯矩 1. 合理安排梁的约束，减小梁跨。 (b) 2. 改变加载方式，尽量使荷载分散或靠近支座。 (b) (a) (a) * * *