第5章杆系结构单元要点解析.ppt

取 得 上式可写成 坐标变换矩阵[R]的具体内容为： 用节点坐标描述方向余弦： （4-62） （4-62a） 式中，（Xi，Yi）和（Xj，Yj）分别为节点I和节点j在结构坐标系中的坐标值。 2、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元 如果在连续梁中使用这类单元，通常可将单元坐标和结构坐标取得一致。此时，无须进行坐标变换。 3、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元 此时，节点自由度为3，见图4-13。 i j x y ?2 ?3 ?5 ?6 l ?1 ?4 图4-13 注意单元坐标系xy平面和结构坐标系XY平面在同一平面上，因而单元坐标系z轴和结构坐标系的Z轴总有相同指向，所以恒有： 线位移的坐标变换式和平面铰接杆完全相同。于是得到： （4-63） i j x y z 4、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元 此时，xy平面和结构坐标系XY平面仍在同一平面上，因而z轴和结构坐标系的Z轴指向相同，只须取 l 图4-14 ?xi ?xj ?yi ?yj Wi Wj X Y Z 在单元坐标系中，单元每个节点（如i）有3个位移分量： ?xi、?yi和wi ，它的变换式和承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元（图4-13）中向量 的变换式相同。 并且，恒有 i j x y vi ?i vj ?j l ui uj 图4-13 向量 ，其变换和承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元中的 相同。 （4-36） 形函数矩阵由式（4-30）和（4-31）给出。对于具体问题，只要将qy(x)代入上式进行积分即可。表1给出了几种特殊情况的等价节点力。 - 5ql2/96 ql/4 5ql2/96 ql/4 - ql2/20 7ql/20 ql2/30 3ql/20 - ql2/12 ql/2 ql2/12 ql/2 Mj Qj Mi Qi 荷载分布 i j q q i j q i j 几种横向分布荷载等价节点力 表 1 (6) 单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为 将式（4-34）代入上式进行积分，并注意到 Iz——梁截面对Z轴（主轴）的惯性矩 得单元坐标单元刚度矩阵[k]e: （4-37） 单元刚度矩阵式(4-38)适合于连续梁分析。 （4-38） 2、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元 i j x y i j x y ?2 ?3 ?5 ?6 l ?1 ?4 F2 F3 F5 F6 l F1 F4 图4-8 （1）单元坐标单元位移和单元力 ① 单元位移 （4-39） 其中， u——x方向（轴向）位移。 v——y方向位移，即挠度。 ?——角位移。 ② 单元力 （4-40） 其中， N——轴向力 Q——剪力 M——弯矩 对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按4.3节一维铰接杆单元和4.4节两端承受剪力、弯矩的平面梁单元的结果（式4-3和式4-28）简单集合而成。 （2）位移函数和形函数 ① 位移模式 （4-41） 以下形函数和一些基本矩阵都可按此思路推演。 ② 形函数 式中形函数[N]为： （4-42） （4-43） 其中, （3）应变矩阵 ① 单元弯曲应变?与节点位移???e的关系。 承受轴向力、剪力、弯矩的梁单元上任一点的应变，应为该点挠度（v）引起的应变和轴向位移（u）引起的应变之和。 考虑到式（4-8）和（4-34），单元应变矩阵为： （4-44） （4-45） (5) 等价节点力 x y i j l 图4-9 qy(x) （4）应力矩阵 （4-46） 应力矩阵形式同式（4-35）： qx 将式（4-36）、（4-11）膨胀成6×1矩阵后相加，并注意到式（4-43），有 （4-36） （4-11） 最后得等价节点力矩阵 （4-47） 表2给出了几种特殊情况的等价节点力。 Qj Qi Mj Nj Mi Ni 荷载分布 几种横向分布荷载等价节点力 表 2 i j qy qx qy i j qx qy i j qx (6) 单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为 （4-48）