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含参数不等式恒成立问题的解题策略 董海涛 安徽省阜阳市第三中学（236000） 　　 方程与不等式是支撑中学数学体系的主干知识，而含参数不等式恒成立问题又是不等式内容中有效体现中学数学基本思想和方法的载体，因而这类问题总是受到命题人员的青睐，成为高考试题中的热点；同时由于此类问题具有较强的综合性，又可以与函数、方程、数列、导数等有机地结合起来，因而也是难点，本文试图通过实例列举，总结此类问题常见的解题策略. 一：分离参数，转化为求函数最值法 这是解决含参数不等式恒成立问题的常见方法，基本步骤是：把不等式变形为左边仅含参数，右边为含变量x的函数，求右边函数的最值. 例1（2008安徽高考理20）设函数f(x)= 求函数f(x)的单调区间 已知对任意的x∈(0,1)成立，求实数a的取值范围. 解：①略，易知f(x)的单调增区间为（0，），1）和（1，＋∞） ③对两边取自然对数，得ln2alnx 两边同时除以lnx，分离出参数a，得a（） 由①知,当0x1时，f(x)＝的最大值为f()＝ ∴y=的最大值为－e·ln2 ∴a-e·ln2即可保证原式恒成立. 所以实数a的取值范围是（－e·ln2,+ ∞） 例2：（2008上海理19）已知函数f(x)＝2x- ①若f(x)=2 求x的值 ②若2tf(2t)+mf(t)≥0对t∈［1,2］恒成立，求实数m的取值范围. 解：①略 ②当t∈［1,2］时，原不等式等价于 即2t（2t+对t∈［1,2］恒成立 ∴m≥－（22t+1） ∵t∈［1,2］ ∴-(22t+1) ∈［-17,－5］ ∴m≥－5 所以实数m的取值范围是［－5，＋∞］ 注：含参数不等式在开区间（m,n）内恒成立问题，一般有如下结论： 设函数f(x)在开区间（m,n）内有最大值M，最小值N，则 g(a)f(x)在（m,n）内恒成立g(a)M g(a)≥f(x)在（m,n）内恒成立g(a)≥M g(a)＜f(x)在（m,n）内恒成立g(a)＜N g(a)≤f(x)在（m,n）内恒成立g(a)≤N 对于闭区间［m,n］上的含参数不等式恒成立问题，结论类似. 二：分离参数，转化为求函数确界法. 这是对策略一的补充和拓展，解题对象是：分离参数后的函数不存在相应最值的含参数不等式恒成立问题.首先给出确界的定义： 函数y=f(x)(x∈D)的上确界为min{M|f(x)≤M，x∈D}，记作M上；函数y=f(x)(x∈D)}下确界为max{ M|f(x)≥M，x∈D}，记作M下. 比如函数f(x)＝x2-2x-3（0＜x＜3)的上确界M上＝f(3)=0,下确界M下＝f(1)=-4，其中M下也是这个函数的最小值，但M上不是这个函数的最大值，只是上确界而已. 例3　已知函数f(x)=x3- x2+ax+b在区间（0,1］上单调递增，求实数a的取值范围. 解：依题意知：f＇(x)=3x2-ax+a≥0在区间（0,1］上恒成立. 即a(x-1) ≤3x2在（0,1］上恒成立. 当x=1时，上式恒成立. 当x≠1时，a≥在（0，1）内恒成立（*） 设g(x)= 显然函数g(x)在（0,1）内不存在最大值，但存在上确界M上＝0 ∴a≥0即可保证（*） 注：若函数f(x)在开区间（m,n）内无最大值，但有上确界M上，则 g(a)f(x)在（m,n）内恒成立g(a)≥M上 g(a) ≥ f(x)在（m,n）内恒成立g(a)≥M上 若函数f(x)在开区间（m,n）内无最小值，但有下确界M下，则 g(a)＜f(x)在（m,n）内恒成立g(a)≤M下 g(a) ≤ f(x)在（m,n）内恒成立g(a)≤M下 三:不分离参数，直接求最值法 此种策略是针对不等式中的参数无法分离出来或不需要分离出来而提出的，也是对策略一的补充. 例4.（2008江苏14）设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若对于任意x∈［－1,1］，都有f(x) ≥0成立，求实数a的值。 解：由题意知：对任意x∈［－1,1］，f(x)min≥0 （I）当a≤0时，f＇(x)=3ax2-3＜0,f(x)在［－1,1］上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)=a-2≥0 ∴a≥2(与题设矛盾)不符合题意。 （Ⅱ）当a＞0时 由f＇(x)=0得x=± 易知当x∈（－∞，－）、（，＋∞）时，f＇(x)＞0，f(x)单调递增， 当x∈（－，）时，f＇(x)＜0，f(x)单调递减。 ①当时，f(x)在［－1,1］上的最小值是f(-1)或f(),则 ∴即可，　　　∴ ∴a=4 ②当时，f(x)在［－1,1］上的最小值是f(1),则 f(1)0即可. ∴a2.与矛盾，舍去。 所以a的值是4 四：逐层推进，逐步减元法 此策略是针对含有二元变量的含参数不等式恒成立问题而采用的，解题时