食堂排队分析的数学模型+课程感受课程.doc

食堂排队分析的数学模型 吴佳平 （数学学院 信息与计算科学 在学校里，我们常常可以看到这样的情景：下课后，许多同学争相跑向食堂去买饭，小小的卖饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂也立即变得拥挤不堪。饥肠漉漉的同学们见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。增加窗口数量，减少排队等待时间，是学生们十分关心的问题。然而就食堂的角度来说，虽说增加窗口数量可以减少排队等待时间，提高学生对该食堂的满意度，从而赢得更多的学生到该食堂就餐，但是同时也会增加食堂的运营成本，因此如何在这两者之间进行权衡，找到最佳的窗口数量，对学生和食堂双方来说都是很重要的。 摘要 1、首先，我们分析调查到的数据，发现学生流符合泊松分布，服务时间符合指数分布，由此我们的模型就变成了排队论中典型的M\M\n模型，根据M\M\n模型中的各效率指标的公式，我们可得到学一食堂拥挤情况的各方面数据。 2、根据模型求解得到的数据，我们对模型进行了更精确的量化分析。我们发现，解决本模型的关键就在于分析顾客平均排队时间，我们对其与窗口数之间的关系进行了拟合，并就两者之间关系进行了灵敏度分析。 3、针对窗口数与顾客平均排队时间之间的关系，我们从经济学的角度进行了分析，即比较增加窗口后成本的增加量与减少排队等待时间所带来的收益之间的大小关系，最后得出学一食堂设置7个窗口最为合理。进一步，我们结合经济学中的寡头竞争原理，分析了现在6个窗口设置的原因。 关键词 排队论 M\M\n模型 灵敏度 等待损失 模型的建立与分析 由于周六周日学校没课，故学生去食堂的时间较为分散，很少发生排长队的现象，我们在此就不做分析了。我们仅就周一至周五的食堂拥挤情况进行分析。观察发现，一般打到饭的同学都能找到座位吃饭，故我们可认为，食堂里的座位数是足够的，无需添加新的桌椅。所以解决食堂拥挤状况，主要是解决排长队的问题。我们将就此问题建立模型，进行分析。 调查数据 我们统计了从6月6日到6月10日（周一到周五）12：05至12：25高峰期学莘子园的学生流分布情况：共统计了3059人次的数据，见下表： 表一 每10秒到达人数 1 2 3 4 5 7 频数 257 441 894 956 350 161 由概率论的知识可知，若分布满足，则该分布为泊松分布。（其中为泊松分布的密度，λ为泊松分布的参数） 由上表可得λ=3.39。经检验，该分布近似于泊松分布。虽然我们仅仅调查了一周的数据，但考虑到学生到食堂就餐具有较大的稳定性，所以认为调查的数据还是较为可靠的。另外在非高峰时段很少发生排队现象，故在此我们也不做分析。 模型假设 1、由于学校学生多，而食堂少，在中午时段，学生又大都集中在12：05至12：25这一时间段赶去食堂吃饭，故我们可认为在该时间段中学生源是无限的，且学生单独到来且相互独立。 2、学生对菜色没有特别偏好，每个窗口对学生来说都是一样的。 3、食堂实行先来先服务原则，且学生可自由在队列间进行转移，并总向较短的队进行转移，没有学生会因为队列过长而离去，故可认为排队方式是单一队列等待制。 4、食堂共有6个窗口，经我们观察可发现，每个窗口服务员的工作效率是随机的，很难对其进行精确的分析。所以我们由一般统计规律，认为其满足指数分布，平均每个学生的服务时间是15秒，且服务员之间无差异。 5、以10秒为一个时间单位。 模型建立 基于以上的假设，我们的模型符合排队论中的多通道等待模型（M/M/n）。该模型的特点是：服务系统中有n个服务员，顾客按泊松流来到服务系统，到达强度为λ；服务员的能力都是μ，服务时间服从指数分布。当顾客到达时，如果所有服务员都忙着，顾客便参加排队，等待服务，一直等到有服务员为他服务为止。 这个系统的效率指标有： 顾客到达强度λ 每个顾客的平均服务时间 服务员能力 系统服务强度，即平均每单位时间中系统可以为顾客服务的时间比例 空闲概率 系统中排队顾客的平均数： 顾客平均排队时间： 顾客平均逗留时间： 系统中顾客的平均数： 模型求解 由我们调查的数据可知λ=3.39，=1.5，n=6，代入以上各式可得： 服务员能力=0.67，系统服务强度=5.09，因为,所以极限存在。 空闲概率：=0.031 系统中排队顾客的平均数：=27 顾客平均排队时间：=7.96 顾客平均逗留时间：=9.46 系统中顾客的平均数：=32.09 由此可见，当我们中午在12：05至12：25这个时间段去莘子园吃饭时，一进门就会发现里面已经人满为患，几乎不可能找到空闲的窗口。而且，已经有32个同学正在排队买饭。27个人正在排队等待，平均一个窗口5人。当我们开始排队时，要过80秒钟才轮到我们，要过95秒钟我