信号估计的基本方法摘要.docVIP

估计与滤波大作业 专业：控制工程 班级：硕4080 学号：3114315011 姓名：李尧 信号估计的基本方法 摘 要：在当今数字计算机技术空前普及的时代，以卡尔曼滤波为核心的现代估计理论和随机控制理论已广泛应用于科学技术和国民经济的各个领域，成为随机信号处理和随机动态系统控制的一种有效手段。本文通过对于随机信号估计理论的研究，总结了随机信号估计的基本方法及其特性。 关键词：随机信号；估计方法；卡尔曼滤波 0 引 言 许多实际问题中，在发现目标信号的基础上，还需要测定信号的参数。例如，在雷达系统中，通过测定目标回波信号的延迟时间及多普勒频率等参数，以便估计目标的距离和径向运动速度等。但由于接收信号要受到随机噪声的污染，不可能精确地测定信号的参数，需要使用信号估计的方法尽可能精确地对其估计。 1 信号参数估计的理论模型 一般信号参数估计的模型如图1.1所示。它由以下四部分组成[1],[2]。 图1.1 信号参数估计的模型 参数空间。参数空间是被估计量所有可能取值的范围所构成的空间。如果被估计量是一维的，那么参数空间就是一条直线。 （2）概率映射。参数空间的被估计量以函数的形式映射到观测空间中。 （3）观测空间。它是随机观测信号量所有可能取值的范围构成的空间，它的维数是与观测次数N有关的，也与每次观测量的维数有关。 （4）估计准则。根据随机观测信号量的统计特性、被估计量的特性及估计指标要求，确定采用的估计准则，构造x函数对参数的估计。 2 信号参数估计的方法 若信号的被估计参数是已知先验概率函数的随机参数，估计的指标要求是平均代价最小，则贝叶斯估计是这种条件下的最佳估计准则。 1、最小均方误差估计MMSE 当采用误差平方代价函数时，条件平均代价表示为[3] （2.1.1） 使其最小的必要条件是将（2.1）式对求偏导，并令结果等于零，解得最佳估计量，此方法称为最小均方误差估计，估计量记为 。 令 （2.1.2） 解得 （2.1.3） 因为对的二阶偏导为正，所以求得的能使平均代价达到最小值，的平均代价为 （2.1.4） 利用关系式和 可将（2.1.3）改写成 （2.1.5） 式中，被估计的先验概率密度函数是已知的，以为条件的观测信号矢量x的概率密度函数，根据观测方程和观测噪声的统计特性可以得到。所以估计量的构造公式避免了求后验概率密度函数的困难。 2、最大后验估计MAP 当采用均匀代价函数时，条件平均代价表示为[4] （2.2.1） 显然，欲使最小，需要式（2.2.1）右端的积分项最大。对于足够小的，为使积分值最大，应当选择使它处于后验概率密度函数最大值的位置，故称为最大后验估计，估计量记为。 如果的最大值处于的可能取值范围内，且具有连续的一阶导数，则获得的方程为 （2.2.2） 因为自然对数是自变量的单调函数，所以有 （2.2.3） 该方程称为最大后验方程。为了更直观地表示观测信号矢量的似然函数和被估计量的先验概率密度函数与的关系，将关系式，代入最大后验方程式（2.2.3），得另一种求解更方便的最大后验方程 （2.2.4） 式中，是观测信号矢量X的似然函数。 3、最大似然估计ML 在很多情况下，被估计量是随机参量但不知道其先验分布或本身是非随机的未知参量时，一般采用似然函数最大值对应的作为估计量，称为最大似然估计，估计量记为，其方程表示为 （2.3.1） 由于最大似然估计没有利用被估计参量的先验知识，因而其估计质量一般要比最大后验概率估计差。当为非随机的未知参量时，或是随机参量但未知其先验分布时，或计算后验概率密度函数比计算似然函数要困难的多时，最大似然估计不失为一种优良的、很有用的估计。 4、最小二乘估计LS 设信号的单参量为，信号的模型为。若对信号进行了N次观测，观测信号为。由于存在观测噪声等随机干扰信号，与之间存在随机误差。如果构造的估计量使二乘误差 （2.4.1） 达到最小，则估计量就最接近信号参量。我们把使二乘误差达到最小的估计称为最小二乘估计，记为。