高二选修4-5_证明不等式的基本方法_教案详解.ppt

例2、设0 a, b, c 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a, 不可能同时大于1/4 则三式相乘： (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a 又∵0 a, b, c 1 ∴ 同理： 以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 与①矛盾∴结论成立 证明：设(1 ? a)b1/4, (1 ? b)c1/4, (1 ? c)a1/4, 例3：用反证法证明： 如果ab0，那么 (2)放缩法 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. 通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较强的一种证法. 例如： 要证bc,只须寻找b1使bb1且b1≤c(放大) 要证ba,只须寻找b2使bb2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。 答案：MN 法2： 证明：在　　　　时，显然成立. 当　　　　时，左边 法３：函数的方法 1、巳知：a、b、c∈　　，求证： 课堂练习 3、当 n 2 时，求证： 证：∵n 2 ∴ 　　　　　 ∴n 2时, 补充例题: 3点必须注意 1. 作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构． 2. 放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出．放得过大或过小都不能达到证明目的． 3. 利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此，要切记检验等号成立的条件. 答案：MN [审题视点]　(1)根据式子的特点，利用公式进行转化，根据集合相等确定m的值；(2)结合已知条件构造两个适当的数组，变形为柯西不等式的形式． 答案：C (1)若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是________． (2)x，y∈R，且x2＋y2＝10，则2x－y的取值范围为________． (2)分析法 从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系 用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有…… 只需证明命题B2为真,从而有…… …… 只需证明命题A为真. 而已知A为真,故B必真. 1.分析法要注意叙述的形式： “要证A，只要证B”，这里B应是A成立的充分条件. 2.综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”.它们是两种思路截然相反的证明方法. 分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的综合运用. 例2：若a、b、c是不全相等得正数 求证：lg ＋lg ＋lg ＞lga+lgb+lgc 要证 lg ＋lg ＋lg ＞lga+lgb+lgc 只需证 lg ＞lgabc 只需证 ＞abc ∵a、b、c是正数 ∴ ＞0， ≥ ＞0， ≥ ＞0 ≥ ∵a、b、c不全相等 ∴ ＞ ? ? ＝abc ∴ lg ＋lg ＋lg ＞lga+lgb+lgc 证明: 练习1.求证： 证明： 不等式显然成立 原不等式即证 若ac+bd≤0, 练习2 ：已知C＞1，求证： 证明：∵C＞1 ∴C+1＞0 C-1＞0 即证-1＜0 而此式显然成立 成立 原不等式 C C C 2 1 1 á - + + \ 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式 时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”． 三、反证法与放缩法 (1)反证法