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牙膏包装模型 摘要：市场上的商品琳琅满目，有大大小小的包装，对消费者而言，大包装的商品往往比小包装的商品要实惠，而对生产商而言，利用消费者这一心理，往往也能赚更多的利润，以牙膏包装模型为例，通过比例模型，探究牙膏重量和牙膏价格的关系，进而帮助消费者和厂家作出更合理的决策。 一．提出问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50装的每支1.50元，120装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1，试用比例方法构造模型解释这个现象。 分析商品价格C与商品重量W的关系。价格由生产成本、包装和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素。 给出单位重量c价格与W的关系，画出它们的简图，说明W越大c越小，但是随着W的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么？ 把实验过程写成一篇建模论文，尽量要图文并茂。 最后要结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议和意见。 二．问题分析 对牙膏包装和价格的关系、牙膏价格和牙膏重量的关系这两个问题，我们从两个方面进行研究，一是牙膏价格和牙膏重量的关系，二是牙膏单位重量的价格与牙膏重量的关系，针对问题一，我们分别探究价格与生产成本、包装成本和其他成本之间的关系，在这些成本中，生产成本与牙膏重量成正比；包装成本主要包括内、外包装成本，它们分别与内外包装成本的表面积成正比，而牙膏重量与牙膏包装的体积成正比，进而可以总结出牙膏包装的成本与重量的关系；而生产牙膏还需要涉及运输费、电费、机器生产费等一系列费用，这些费称之为其他成本，它与重量无关，可看做常量处理。综合三方面的分析，建立牙膏价格与牙膏重量的数学模型。 而对于问题二，在问题一的基础上，作比例处理很容易得出牙膏单位重量价格c与重量w的函数模型，利用几何画板作出其函数图象，进行图象分析，得出更多的启示，从而对商家与消费者提出合理有效的建议和意见。 三．模型假设 （一）、特殊符号说明： C——牙膏成本价格（单位：元） w——牙膏的重量（单位：克） ——牙膏的生产成本（单位：元） ——单位重量的牙膏生产成本（单位：元∕克） ——牙膏的内包装成本（单位：元） ——牙膏内包装的单位表面积的包装成本（单位：元∕克） ——牙膏外包装包装成本（单位：元） ——牙膏外包装的单位表面积的包装成本（单位：元∕克） Q——牙膏的其他成本（单位：元） S——牙膏内包装的表面积（单位：平方厘米） S——牙膏外包装的表面积（单位：平方厘米） r——牙膏内包装的底面半径（单位：厘米） ——牙膏内包装的高于底面半径r的比值 h——牙膏外包装的高（单位：厘米） ——牙膏的密度（单位：克∕立方厘米） V——牙膏内包装的体积（单位：立方厘米） c——牙膏单位重量的成本价格（单位：元） （二）、情况假设： 1. 将牙膏内包装可以抽象成一个圆柱体； 2. 一般给牙膏内包装的高h与内包装底面半径r的比例关系设为一个定值； 3. 将牙膏外包装可抽象为底面为正方形的长方体； 4. 由于牙膏一般可在盒里转动，可以假设底面边长即牙膏较扁的一段的长度； 5. 假设内外包装的高是一样的. 四．模型建立与求解 按照问题分析中的思路，我们分别对问题一、二进行详细分析。 （一）、牙膏价格C与单位重量w的关系： 1.牙膏生产成本 与重量w的关系：=w ⑴ 据市场调查，单位重量的牙膏成本价格=0.02（元/克） 2.牙膏内包装成本 与重量w的关系： 牙膏内包装成本与内表面积S的关系：=S ⑵ 牙膏内包装表面积为S：rh ⑶ 据市场调查，牙膏内包装可以抽象成一个圆柱体，则由圆柱体的体积公式得：V=rh ⑷ 按照密度公式：w=V ⑸ 从而得出底面半径与牙膏重量的关系：r= 据专家意见牙膏设计师考虑到牙膏包装设计的美观效果，一般给牙膏内包装的高与内包装底面半径的比值设为定值，即：= ⑹ 综合⑴⑵⑶⑷⑸⑹得牙膏内包装成本与牙膏重量w的关系为： c=wk ⑺ 3．牙膏外包装成本c与重量w的关系： 牙膏外包装成本c与外包装表面积S的关系： ⑻ 同样，据市场调查，牙膏外包装可抽象为底面为正方形的长方体，由于牙膏一般可在盒里转动，可以假设底面边长即牙膏较扁的一段的长度，假设内外包装的高是一样的，那么外包装的表面积： rh ⑼ 综合⑷⑸⑹⑻⑼得，牙膏外包装成本 与重量w的关系为：