第一章计数原理(复习教案)(教师).doc

第一章 计数原理 一．学习目标 1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题． 2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． 3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． 4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 二．知识网络 第一课 两个原理 一．知识梳理 1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． 2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． 3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法． 二．基础自测 1.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？ （2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？ （3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？ 解（1）“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3+8+5=16种. (2)“完成这件事”需选2人，老师、学生各1人，分两步进行：选老师有3种方法，选学生有8+5=13种方法，共有 3×13=39种方法. (3)“完成这件事”需选3人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行，选老师有3种方法，选男同学有8种方法，选女同学有5种方法，共有3×8×5=120种方法. 2.（09重庆卷）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）． 解：分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有 3.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 种. 答案 180 4.（09全国卷）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法; (2) 乙组中选出一名女生有种选法. 故共有345种选法. 5.（09浙江卷）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）． 对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种． 三．典例剖析 例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 解 方法一 按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个. 由分类计数原理知，符合题意的两位数的个数共有： 8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）. 方法二 按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，所以按分类计数原理共有： 1+2+3+4+5+6+7+8=36（个）. 练习：1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法? 解 当一个加数是1时,另一个加数只能是20,1种取法. 当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,2种取法. 当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,3种取法. …… 当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,…,20,10种取法. 当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,…,20,9种取法. …… 当一个加数是19时,另一个加数是20,1种取法. 由分类计数原理可得共有1+2+3+…+10+9+8+…+1=100种取法. 例2 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问: (1)P可表示平面上多少个不同的点? (2)P可表示平面上多少个第二象限的点? (3)P可表示多少个不在直线y=x上的点? 解 （1）确定平面上的点P(a,b)可分两步完成： 第一步确定a的值，共