第21讲三角恒等变换.doc

第21讲　三角恒等变换 【学习目标】 1．能利用两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换． 2．能利用上述公式及三角恒等变换的基本思想方法对三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明． 第21讲　三角恒等变换 【学习目标】 1．能利用两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换． 2．能利用上述公式及三角恒等变换的基本思想方法对三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明． 1 【基础检测】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2011福建)若tanα＝3，则的值等于() A．2 B．3 C．4 D．6 2．(2011辽宁)设sin(＋θ)＝，则sin2θ＝() A．－ B．－ C. D. 3．(2011江苏)已知tan(x＋)＝2，则的值为. 4．(2011重庆)已知sinα＝＋cosα，且α(0，)，则的值为. 5．若f(x)＝2tanx＋，则f()＝____. 【知识要点】 1．三角变换的一般方法 (1)角的变换，一般包括角的分解和角的组合，如α＝(α＋β)－β，＋x＝－(－x)，α＝2·等； (2)函数名称的变换，一般包括将三角函数统一成弦，以减少函数种类，对齐次式也可化切； (3)注意结构的变换，如升幂与降幂，辅助角公式等； (4)角变换中以角的变换为中心；解题时，一看角，二看名称，三看结构． 2．三角变换的常见题型 (1)化简：灵活选用和、差、倍、辅助角公式进行三角恒等变换，是化简三角函数式的难点，解题时应注意降次，减少角的种类及三角函数种类，注意角的范围及三角函数的正负． (2)求值：给值求值时，注意要求角与已知角及特殊角的关系． (3)证明：证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简，左右归一． 一、化简 例1已知0α，β为f(x)＝cos(2x＋)的最小正周期，a＝(tan(α＋β)，－1)，b＝(cosα，2)，且a·b＝m，求的值． 二、求值 例2如图，以Ox为始边作角α与β(0βαπ)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(－，)． (1)求的值． (2)若，求sin(α＋β)的值． 例3不查表计算：cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°的值． 三、三角恒等式的证明 例4已知f(x)＝. (1)证明：2f(x)＝cos2x； (2)若f(x)＝，且x∈(0，)，证明：3tanx＝1. 〔备选题〕例5在ABC中，＝. (1)证明：B＝C； (2)若cosA＝－，求sin(4B＋)的值． (2011四川)已知函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)，xR. (1)求f(x)的最小正周期和最小值； (2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0αβ≤.求证：[f(β)]2－2＝0. 1．(2011福建)若α(0，)，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于() A. B. C. D. 2．已知函数f(x)＝sinx－cosx且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则＝() A．－ B. C. D．－ 3．(2011全国大纲)已知α(，π)，sinα＝，则tan2α＝. 4．若sin(3π－α)＝cos(＋β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)，且0α，0β，则α和β的值分别为. 5．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β为第三象限角，则sin(β＋)＝. 6．已知sin(x＋)＝，求sin(－x)＋sin2(－x)的值． 7．已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1)且ab，其中θ(0，)． (1)求sinθ和cosθ的值； (2)若sin(θ－ω)＝，0ω，求cosω的值． 8．已知ABC是非直角三角形． (1)求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC； (2)若A＞B，且tanA＝－2tanB，求证：tanC＝. 【基础检测】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2011福建)若tanα＝3，则的值等于() A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】＝＝2tanα＝6，选D. 【解析】sin2θ＝－cos(＋2θ)＝2sin2(＋θ)－1＝2×()2－1＝－，选A. 2．(2011辽宁)设sin(＋θ)＝，则sin2θ＝() A．－ B．－ C. D. 【解析】tan(x＋)＝＝2 tanx＝ tan2x＝＝ 故＝×＝. 3．(2011江苏)已知tan(x＋)＝2，则的值为. 4．(2011重庆)已知sinα＝＋cosα，且α(0，)，则的值为. 【解析】sinα－cosα＝ 且(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2 (sinα＋cosα)2＝