2011年高考数学总复习《教考名师伴你行》第五章学案3平面向量的数量积及运算资料分析.pptVIP

* * * * 进 入 学案3 平面向量的数量积及其运算 名师伴你行 考点一 考点二 考点三 名师伴你行 返回目录 1.平面向量数量积的有关概念 （1）已知两个非零向量a,b，过O点作OA=a,OB=b,则 =θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. 很显然，当且仅当两非零向量a，b同方向时，θ= ，当且仅当a，b反方向时，θ= ，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题. （2）如果a,b的夹角为90°，则称a与b ，记作 . → → ∠AOB 0° 180° 垂直 a⊥b 名师伴你行 （3）a,b是两个非零向量，它们的夹角为θ,则|a|·|b|·cosθ叫做a与b的 ，记作a·b， 即a·b=|a|·|b|·cosθ. 规定0·a= . 当a⊥b时,θ=90°，这时a·b= . 2.a·b的几何意义 （1）一个向量在另一个向量方向上的投影 设θ是a与b的夹角，则|a|cosθ称作a在b的方向上的 ，|b|cosθ称作b在a的方向上的投影，b在a的方向上的投影是一个数，而不是向量，当0°≤θ90°时，它是 ；当90°θ≤180°时，它是 ；当θ=90°时，它是 . 零 0 数量积（或内积） 0 投影 正值 负值 返回目录 名师伴你行 （2）a·b的几何意义 a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积. 3.a·b的性质 设a，b是两个非零向量，e是单位向量，于是有： （1） e·a=a·e=|a|cosθ. （2）a⊥b  . （3）当a与b同向时，a·b= ;当a与b反向时，a·b= ，特别地，a·a= 或|a|= . （4）cosθ= . （5）|a·b|≤ . a·b=0 |a|·|b| -|a|·|b| a2=|a|2 |a|·|b| 返回目录 名师伴你行 4.a·b的运算律 （1）a·b= . （2）(λa)·b= (λ∈R). （3）(a+b)·c= . 5.平面向量数量积的坐标表示 （1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= . （2）若a=(x,y)，则|a|2=a·a= ,|a|= . （3）若A(x1,y1),B(x2,y2)，则|AB|= . （4）若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a⊥b . b·a λ(a·b)=a·(λb) a·c+b·c x1x2+y1y2 x2+y2 x1x2+y1y2 =0 → 返回目录 名师伴你行 考点一 平面向量数量积的基本运算 【例1】已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为θ=150°,求a·b,(a-b)2,|a+b|. 【分析】利用平面向量数量积的定义、性质及运算律可直接求a·b,（a-b）2,求|a+b|，应先求|a+b|2,再开方. 返回目录 名师伴你行 【解析】a·b=|a|·|b|·cosθ=-6 . （a-b）2=|a|2+|b|2-2a·b=25+12 . |a+b|= = = , ∴a·b= -6 , (a-b)2=25+12 , |a+b|= . 【评析】本题注意(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2这一公式的应用；另外求模的方法也要注意. 返回目录 名师伴你行 ＊对应演练＊ 已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,