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丽水学院
第七届高等数学（微积分）竞赛试卷
（数学类） 时间：2013年3月23日，8:30—11:00
学院： 班级： 姓名：
题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一、计算题(本大题共5小题，每小题14分，共70分)
1. 求极限（1）
（2）
解：
（1）
=
=
（2） =
而
所以.
. 计算积分（1）
（2）设是上的连续函数，试交换累次积分的积分顺序。
解：（1） =
（2）
3. 比较的大小。
解：题目等价于比较的大小。
由知，在中严格递减。
而
4. 设，求：，.
解：
5. 证明：。
证：记
则
因此
二、（满分20分）
设在有限区间上有定义，且对任意的都存在，证明：对任意的区间中使得的点至多只有有限个。
证明：反证法，假设存在在中有一列使
由于有界故有收敛子列，不妨设为
又由存在知，对上述存在使有
从而存在正整数当有 固定某个由存在，故存在使
所以
矛盾。因此结论成立。
三、（满分20分）
设在内可导，上连续，且对任意有，又 证：存在有
证明：构造函数， 显然在内可导，上连续，且 由微分中值定理知，存在使
. 令，结合从而在单调增，有，得
四、（满分20分）
证明：。
证明：
显然
所以收敛。又因为
而发散，类似前面可证收敛。因此发散。从而
。
五、（满分20分）
从调和级数中去掉所有在分母的十进制表示中含数码8的项（如：等），判断由此所得余下的级数的收敛性，并证明你的结论。
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