矢量代数的基本知识.pptVIP

* 例：从离地面高度为h的固定点A，将甲球以速度v0抛出，抛射角为?（0??/2）。若在A点前方适当的地方放一质量非常大的平板OG，让甲球与平板做完全弹性碰撞，并使碰撞点与A点等高，如图所示。则当平板的倾角?为恰当值时（0??/2）甲球恰好能回到A点。另有一小球乙，在甲球自A点抛出的同时，从A点自由落下，与地面做完全弹性碰撞。试讨论v0、?、?应满足那些条件，才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同时回到A点。 解：由于甲球与板的碰撞是弹性的，板的质量又很大，所以甲球与板碰撞前的速度与碰撞后的速度都等于v0。 设碰撞后甲球从板弹回时的抛射角为 设A点与碰撞点之间的距离为L（即射程）， * 由 解得： 即： 所以 或 表示甲球射到平板时速度的方向与它从平板反射出时速度的方向相反。 因此有 此时甲球必沿板的法线方向射向平板。反弹后，甲球沿原来的路径返回A点， 即： 表示甲球沿与平板的法线成某一角度的方向射向平板，沿位于法线另一侧与法线成相同角度的方向弹出，然后甲球沿另一条路径回到A点。 代入 得 因 * 下面按上述两种情况，讨论甲、乙两球同时回到A点应满足的条件。 (1) 即甲球沿原路径回到A点的情况 设甲球从A点抛出与OG板碰撞到沿原路径回到A点共经历时间为t1， 设乙球从A点自由落下，与地面发生一次碰撞再回到A点共经历时间为t2， 要求两时间相等, 得 即 * (2) 设甲球从A点抛出与OG板碰撞到沿原路径回到A点共经历时间为 。 设乙球从A点自由落下，与地面发生一次碰撞再回到A点共经历时间为 。 甲球与OG板碰撞后，沿另一条路径返回到A点。 要求两时间相等， 处理后为 有 结合 得 * 3．圆周运动、曲线运动 表示速率变化率， 表示沿A点速度方向的单位矢量 因为A点为任意点，可以略去下标， 由图知 表示沿A点的法向单位矢量，方向由A点指向圆心O * 它用来改变速率的大小，但不改变速度的方向； 它用来改变速度的方向，但不改变速度的大小 说明：对于曲线运动，上式仍然成立，但式中的R指的是曲率半径。 称为切向加速度， 称为法向加速度， s * 补充：自然坐标系 质点P沿已知的平面轨道运动。 将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一点O作为坐标原点。 质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长度s来表示，s称为弧坐标。 在质点上建立两个坐标轴：切向坐标和法向坐标。 切向坐标 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向； 法向坐标 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。 强调：自然坐标系是建立在运动质点上的，它随质点一起运动在轨道曲线上。轨道上各点的自然坐标系的二个坐标轴的方位是不断变化的。 * 例：一个抛射体，射出时的初速度大小为v0，抛射角为60o。（1）某时刻测得抛射体在轨道A点处速度方向与水平方向成30o，大小为v，求抛射体在A点处的切向加速度和法向加速度；（2）分析抛射体从射出到落回地面的过程中切向加速度和法向加速度的大小变化情况。 （2）上升过程切向加速度数值变小，法向加速度数值变大；当抛射体在最高点时，法向加速度最大，大小为g；下落过程切向加速度数值变大，法向加速度数值变小。 解：（1）利用矢量分解法。总加速度为g。 （上升过程，与速度方向相反） （下落过程，与速度方向相反） 或 （方向沿法线方向） * 例：有一只狐狸以不变速率v1沿着直线AB逃跑，一猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸，某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD?AB，且FD=L（如图所示），试求此时猎犬加速度的大小。 解：设?t时间以后，猎犬到达C处，狐狸到达E。 由图可见猎犬转过的角度应为? ， 它的方向与速度方向垂直。 在?t时间内狐狸逃过的距离为 联立(2)(3)式得： 加速度 ?t时间间隔很小，可以将猎犬运动的轨迹看成一小段圆弧，设此圆弧的半径为R。 有： * 例:A、B、C三个芭蕾舞演员同时从边长为L的三角形顶点A、B、C出发，以相同的速率v运动，运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A。试问：经过多少时间三人相遇？每个演员跑了多少路程？ 解法1：任一时刻三人位置都在一个正三角形的三个顶点上，且正三角形边长不断缩小。 根据小量近似相近，有： 类推： 把追上时间分成n个微小时间?t（?t?0），在每个?t内每个人近似作直线运动，可求出每经过?t后三角形的边长，分别有l1,l2,?ln。当ln?0时三人相聚。 * 当ln＝0时三人相遇于原正三角形ABC的中心， 此时有： 所以三人相遇时所需的时间为 每个演员跑过的路程为： 即 解法2：如图所示，设t时刻三角形边长为x，经历一极短时间?t后，边长变为 。