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* * * * * * * * * * 深圳大学电子科学与技术学院 第三章：行波法与积分变换法 §3.2 三维波动方程的定解问题 杜戈果 dugeguo@szu.edu.cn 深圳大学电子科学与技术学院 一维波动方程的达朗贝尔公式 三维波动方程的定解问题 拉普拉斯变换法 傅立叶变换法 积分变换法举例 本章内容提要: 参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件 §3.2 三维波动方程的定解问题 x y z 球坐标下的三维波动方程 球对称： 无关，则波动方程可化简为 以 ru 为函数的一维波动方程 一、球对称情况 以速度 a 沿 r 增加的方向 传播的波形 与以 相同速度沿r减小的方向 传播的波形 的叠 加 球对称解的物理意义 目的：求任意 t 时刻在任意点 的波函数 步骤： 1.以M点为中心，以r为半径作一 个球面 2.求出波函数在球面上的平均值： 表示球面上的动点 x y z 3.在 情况下求极限： 给出最后结果 M r 二、一般情况：泊松球面平均法 r 能够证明（ ）满足一维波动方程 其通解为： 证明从略，可参考王元明书P65-67 r （3.28） r 将r=at和 代入 三维波动方程初值问题的泊松公式 r x y z M at * 表示以 M 为中心，at 为半径的球面上的动点 * 积分遍及整个球面 * 球面上的初始条件 决定波函数 三维波动方程的泊松公式 是球面 上的动点 T0 设初始条件限于区域T0 , d 和D分别是M点到T0的最小和最大距离。 t 时刻 M 点的波函数是由以M为中心、 at 为半径的球面 上的初始条件决定的。 D M d 立体区域T0 (x, y, z) 物理意义 T0 at M d D 如果d at，u(M,t) = 0 (扰动前锋未到) T0 at D M d 物理意义 如果D at，u(M,t) = 0 (扰动阵尾已过) T0 at D M d 只有 ，即在时段 才有 (扰动发生作用) T0 at 设初始条件限于区域T0 , d 和D分别是M点到T0的最小和最大距离。t 时刻 M 点的波函数是由以M为中心、 at 为半径的球面 上的初始条件决定的。 如果d at，u(M,t) = 0 (扰动前锋未到) 如果D at，u(M,t) = 0 (扰动阵尾已过) D M d 只有 ，即在时段 才有 (扰动发生作用) at 扰动作用有清晰的“前锋”及“阵尾”，它称为惠更斯原理（无后效现象）。 二维问题的解是三维波函数在 平面上的投影 二维波动方程的定解问题 T0 at 设初始条件限于区域T0，d和D分别是M点到T0的最小和最大距离。 t 时刻 M 点的波函数是由以 M 为中心、 at 为半径的圆域 上的初始条件决定的(波函数依赖于整个圆域内的初始条件）。如果d at，u(M,t) = 0 (扰动前锋未到) D M d T0 (x, y) 平面区域 物理意义 T0 at D M d 只要d?at，则积分值不为零，即在时段d/a?t，有u(M,t)? 0 (扰动发生作用) T0 at 设初始条件限于区域T0，d和D分别是M点到T0的最小和最大距离。 t 时刻 M 点的波函数是由以 M 为中心、 at 为半径的圆域 上的初始条件决定的(波函数依赖于整个圆域内的初始条件）。 D M d 只要 ，则积分值不为零，即在时段 有 (扰动发生作用) x y z 物理意义 T0 at 设初始条件限于区域T0，d和D分别是M点到T0的最小和最大距离。 t 时刻 M 点的波函数是由以 M 为中心、 at 为半径的圆域 上的初始条件决定的（波函数依赖于整个圆域内的初始条件）。 如果d at，u(M,t) = 0 (扰动前锋未到) D M d 只要 ,则积分值不为零,即在时段 就有 (扰动发生作用) x y z 扰动作用有清晰的“前锋”而无“后尾”，称为波的弥散（后效现象）。 x y z M at 为零 例题： 已知 求三维波动方程相应的柯西问题的解 ① 空间任意一点M，在任意时刻t0 的状态，完全由以该点为心、at 为半径的球