輸送現象與單元操作.ppt

數位通訊(Introduction to Digital Communications) Chapter 3 隨機程序的線性過濾 　　假如一個線性系統為非時變的，(3.30) 可以簡化為 假如隨機變數 X(t) 的期望值不是 t 的一個函數 ( 也就是：E{X(t)} = ?X， 一個常數 )，那麼 (3.31) 可以進階地簡化為 已知一個輸入程序 X(t)，且 X(t) 具有有限、固定期望值，對於一個具有脈衝響應 (impulse response) h(t) 為有限的非時變 (time-invariant) 線性系統的輸出來說，X(t) 也具有充分的條件，固定期望值為 3.4.1　一個線性系統輸出的期望值 (3.31) (3.32) 　　根據先前分析的結果的基礎，我們可以聲明一些具有隨機程序輸入的非時變線性系統的一般特性。這些特性對於離散和連續時間系統兩者來說都是正確的而且程序： 3.4.1　一個線性系統輸出的期望值 (3.33) 1. 輸出期望值可以單獨的從輸入期望值決定；高階動差並沒有被要求。 2. 假如輸入期望值是固定 (constant)，那麼輸入期望值就是輸出期望值。 3. 假如輸入期望值是固定且有限，還有系統是穩定，那麼輸出期望值是固定且有限。 　　假如輸入程序 X(t) 的期望值不是固定且線性系統不是非時變的，那麼輸出期望值 ?Y(t) 的有限的條件為 3.4.1　一個線性系統輸出的期望值 (3.34) 　　一個非時變的系統具有脈衝響應 假設這個系統的輸入為隨機程序 ，式中 Y1 和 Y2 是個別具有期望值 v1 和 v2 的隨機變數。請找出輸出程序 Y(t) 的期望值。 解答：Y(t) 的期望值為 我們利用 去簡化 求積分，我們發現 。注意 ，輸出期望值是 a + tb 的形式，而 和 。特例為 v2 = 0 給了一個固定輸入期望值 ?X(t) = v1 且一個固定輸出期望值 ?Y(t) = v1T0。也注意，(3.33) 和 (3.34) 兩式在這個例子中是滿足的 ( 即使 )。 　　考慮一個離散時間線性系統且具有脈波響應 (pulse response) 這個系統的輸入是廣義穩定 (wide-sense stationary) 隨機程序 X(k) 且具有期望值 ?X 0。藉由 (3.35) 得到輸出程序Y(k) 的期望值，且 ?X ( i ) = ?X 。也就是 所以輸出期望值為 【範例3.3】一個時變的離散時間濾波器 做一個取代 ，我們發現 很清楚地，輸出期望值 ?Y (k) 不是固定 (constant)，所以程序 Y(k) 不是廣義穩定。事實上，輸出期望值沒有限制 (bounded) ( 當 k ? ?時， )。這是因為已知的脈波響應 (pulse response) 不滿足 (3.8)，雖然它的確滿足(3.9)。 【範例3.3】一個時變的離散時間濾波器 這個系統不是穩定的，可以藉由考慮限制的輸入 x(i) = ?X ，對所有 i 來說。對應的輸出為 ，當 k ? ? 時假如 ?X 0，而此式漸增沒有限制。然而，對每一個 k 來說，輸出期望值是有限的，而假如 (3.38) 被滿足，它就永遠都成立。( 注意 (3.38) 在這個範例中確實是被滿足的 ) 【範例3.3】一個時變的離散時間濾波器 　　假設一個連續時間線性系統有脈衝響應 (impulse response) 假如輸入程序 X(t) 有固定期望值 ?X，請找出輸出程序 Y(t) 的期望值。假設 ? 0。 解答：因為系統為非時變的 (time invariant) 且輸入期望值是固定的，我們用 (3.32) 並且結論出 　　一個離散時間線性系統描述如下：對任何輸入 x(k) 來說，輸出為訊號 假設這個系統的輸入為隨機程序 X(k) 且具有固定 (constant) 期望值 ?X。輸出程序 Y(k) 的期望值是多少？ 解答：我們用兩個方法解： (3.39) (a)對所有 n ? i 來說，(3.39) 為此系統的脈波響應 (pulse response)，此脈波響應是令 x(i) = 1 和 x(n) = 0 ，所得到。對這個輸入來說，y