1.2 微分学要点.pptVIP

法线方程 当光滑曲面? 的方程为显式 切平面方程 大家网：/ 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 例14. 在曲面 并写出该法线方程 . 提示: 设所求点为 则该点的法向量为 利用 得 平面 法线垂直于平面 点在曲面上 大家网：/ 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 极值必要条件 函数 偏导数, 但驻点不一定是极值点. 且在该点取得极值 , 则有 存在 (2)极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 大家网：/ 时, 具有极值 极值充分条件 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极大值; A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 大家网：/ 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 例如 , 转化 大家网：/ 引入辅助函数 则极值点满足: 方法2 拉格朗日乘数法. 解该方程组，得极值点。 大家网：/ 例15. 要设计一个容量为 则问题为求x , y , 令 解方程组 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. z 使在条件 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 的长方体开口水箱, 试问 大家网：/ 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 大家网：/ * 大家网：/ 一、函数、极限、连续 三、多元函数微分学 二、导数与微分 微分学 四、微分学应用 大家网：/ 一、 函数、极限、连续 1. 函数 定义: 定义域 值域 设 函数为特殊的映射: 其中 定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。 大家网：/ 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 复合函数(构造新函数的重要方法) 初等函数 由基本初等函数 经有限次四则运算与有限次 复合而成且能用一个式子表示的函数. 例如. 函数 基本初等函数: 常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数 大家网：/ 2 极限 极限定义的等价形式 (以 为例 ) 极限存在准则及极限运算法则 大家网：/ 无穷小 无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ; 常用等价无穷小: 两个重要极限 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 等价无穷小代换 大家网：/ 存在 (或为 ) 定理 (洛必达法则) 说明: 定理中 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. 洛必达法则 大家网：/ 3. 连续与间断 函数连续的定义 函数间断点 第一类（左右极限存在） 第二类（左右极限至少有一个不存在） 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 重要结论：初等函数在定义区间内连续 大家网：/ 例3. 设函数 在 x = 0 连续 , 则 a = , b = . 提示: 大家网：/ 有无穷间断点 及可去间断点 解: 为无穷间断点, 所以 为可去间断点 , 极限存在 例4. 设函数 试确定常数 a 及 b . 大家网：/ 二、 导数和微分 导数 定义: 当 时,为右导数 当 时,为左导数 微分 : 关系 : 可导 可微 导数几何意义:切线斜率 1. 有关概念 大家网：/ 例5.设 在 处连续,且 求 解: 大家网：/ 2.导数和微分的求法 正确使用导数及微分公式和法则 （要求记住！） 隐函数求导法 参数方程求导法 高阶导数的求法(逐次求一阶导数） 大家网：/ 例6. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 大家网：/ 例7. 求 解: 关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 大家网：/ 三、多元函数微分法 1. 多元显函数求偏导和高阶偏导 2. 复合函数求偏导 注意正确使用求导符号 3. 隐函数求偏导 将其余变量固定，对该变量求导。 大家网：/ 4. 全微分 5. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 大家网：/ 例8. 求 解法1: 解法2: 在点(1 , 2) 处的偏导数. 大家网：/ 解：设 则 例9. 设 大家网：/ 拉格朗日中值定理 四、 导数与微分的应用 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 大家网：/ 函数单调性的判定及极值求法 若 定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增 (递减) . 在开区间 I 内可导, 3.