上海海事大学0809数值分析试A卷答案.docVIP

上海海事大学2008---2009学年第 2 学期 研究生 数值分析 课程考试试卷A （答案） 学生姓名：　　　　　　 学号：　　　　 专业：　　　　　　　　 填空题（每小格４分） 设则差商　2　　 　　0　　　 区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到 2阶导数的 连续函数。 插值型数值求积公式 　　　的求积系数的表达式为＝则　　b-ａ　　　　 4．非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根附近具有　２ 阶的收敛速度。 5．f(1)=1,f(2)=4,f(3)=7,则f[1，2]=　　３　,f[1，2，3]=　　０　　 6 Jacobi方法是求解　 对称 矩阵的全部特征值和特征向量的计算方法． 用松弛迭代法求解方程组时，松弛因子必须在　［０，２］　范围内 ． 二．如何对方程组 进行调整，使得用高斯-赛德尔迭代求解时收敛。又如取初始向量为，用该方法求近似解，使得。 （８分） 解答：调整第一与第三方程，既可得对角占优系数矩阵 ，所以迭代收敛。 得 因为 ，所以最后结果： 求在[0，1]上的一次最佳一致逼近多项式。　　（８分） 解：在[0，1]上不变号，故： 即 故 、 四．设有一个求积公式 　 求使以上求积公式的代数精度尽可能高，并指出所达到的最高代数精度． （８分） 解 (1) 当时，；时，左=右 解得 当时，， 当时，， 左右． 所求的具有最高代数精度为3．　　　　　　　　　 五．是任意首项系数为1的n+1次多项式，证明：（８分） 1）： 2）： 解：1），利用Lagrange插值余项 2）利用 两边除 六． 给定方程组 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　① 　　 其中，，，且．证明 ①有唯一的． 给定迭代格式 　　　　　　　　　，　　 ② 则有 　　　， 　　　　　　 任取，则迭代格式②收敛． （１０分） 解 (1)只需证明①的齐次方程组 x=Bx ③ 只有零解, 若③有非零解 , 则 两边取范数得 因为,得与条件矛盾, 因而①有惟一解,即存在惟 一的使得 = ④(3分) (2) 将②和④相减得 两边取范数得 ⑤(4分) (3) 由⑤递推得 对任意固定的有 因而迭代格式②是收敛的 (4分) 七．证明：左矩形求积公式 。 设，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛 （１０分） 解：因为：； 故： = 又：分划[a,b]得：，k=1,2,…n 所以：= 其中：， 且 有： 八．试利用四点插值推导数值微分四点公式 ， 其中 （１０分） 解： = == 九．对初值问题 写出以梯形公式所得近似解的表达式。且当步长时，讨论的收敛性。讨论绝对稳定性对步长的限制 （１０分） 解：梯形公式为： 故：，整理得： 所以：。 又：设任给，，于是有 所以 所以对一切都成立 所以无限制。