【创新方案】2015高考数学(理)一轮复习配套文档第10章第3节2项式定理.docVIP

第三节　二项式定理 1．能利用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(nN*) 二项式系数 二项展开式中各项系数C(r＝0,1，…，n) 二项式通项 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项 2．二项式系数的性质 1．二项式(x＋y)n的展开式的第k＋1项与(y＋x)n的展开式的第k＋1项一样吗？ 提示：尽管(x＋y)n与(y＋x)n的值相等，但它们的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y的位置不能随便交换． 2．二项式系数与项的系数一样吗？ 提示：不一样．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． 1．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是(　　) 　A．C B．CC．C D．(－1)r－1C 解析：选D　本题中由于y的系数为负，故其第r项的系数为(－1)r－1C. 2．(2012·四川高考)(1＋x)7的展开式中x2的系数是(　　) A．42 B．35 C．28 D．21 解析：选D　依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C×15＝21. 3．C＋C＋C＋C＋C＋C的值为(　　) A．62 B．63 C．64 D．65 解析：选B　因为C＋C＋C＋C＋C＋C＝(C＋C＋C＋C＋C＋C＋C)－C＝26－1＝63. 4.n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n等于________． 解析：展开式中只有第6项的二项式系数最大， n＝10. 答案：10 5．(2014·南充模拟)(x＋1)9的展开式中x3的系数是________(用数字作答)． 解析：依题意知，(x＋1)9的展开式中x3的系数为C＝C＝＝84. 答案：84 考点一求二项展开式中的特定项或特定项的系数 　　 　 1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题． 2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n项； (2)求二项展开式中的特定项； (3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数． [例1]　(1)(2013·江西高考)5展开式中的常数项为(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 (2)(2013·辽宁高考)使n(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 [自主解答]　(1)此二项展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)5－r(－1)r2rx－3r＝C·(－1)r·2r·x10－5r.因为10－5r＝0，所以r＝2，所以常数项为T3＝C·22＝40. (2)Tr＋1＝C(3x)n－r·x－r＝C·3n－r·xn－r－r＝C·3n－r·xn－(r＝0,1,2，…，n)，若Tr＋1是常数项，则有n－r＝0，即2n＝5r(r＝0,1，…，n)，当r＝0,1时，n＝0，，不满足条件；当r＝2时，n＝5. [答案]　(1)C　(2)B 若本例(2)中的条件“nN*”改为“n≥3”，其他条件不变，则展开式中的有理项最少有________项． 解析：由本例(2)中的自主解答可知：Tr＋1＝C3n－rxn－(r＝0,1,2，…，n)． 即当为整数时，Tr＋1为有理项．显然当n＝3时，r的取值最少，有r＝0，r＝2， 即有理项为T1、T3两项． 答案：2　　　　　 求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的第n项．可依据二项式的通项公式直接求出第n项． (2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可． (3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数． 1．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为(　　) 　A．6 B．10 C．12 D．15 解析：选C　Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx， 当r＝4时，＝0，又nN*，所以n＝12. 2．(2014·昆明模拟)(1－)4的展开式中x的系数是________． 解析：(1－)4的展开式中x的项为·C10(－)4＋xC14(－)0＝2x＋x＝3x.所以x的系数为3. 答案：3 考点二 二项式系数或各项系数和 　 　 [例2]　(1)(2013·新课标全国卷)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝(　　) A