《常微分方程》答案习题5.1.docVIP

习题5.1 1.给定方程组 x=x x= （*） a)试验证u(t)=,v(t)=分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)=, v(0)=的解. b)试验证w(t)＝cu(t)+cv(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)=的解，其中是任意常数. 解：a) u(0)== u(t)==u(t) 又 v(0)== v(t)== =v(t) 因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. b) w(0)=u(0)+u(0)= += w(t)= u(t)+ v(t) = + = = =w(t) 因此 w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x+2x+7tx=e,x(1)=7, x(1)=-2 b) x+x=te,x(0)=1, x(0)=-1,x(0)=2,x(0)=0 c) x(0)=1, x(0)=0,y(0)=0,y(0)=1 解：a）令 x＝x, x= x, 得 即 又 x＝x(1)=7 x(1)= x(1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x＝ x(1)＝ 其中 x＝. b) 令＝x ＝ ＝ ＝ 则得： 且 (0)=x(0)=1, =(0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)=, 其中 x=. c) 令w＝x， w＝，w＝y，w＝y，则原初值问题可化为： 且 即 w w(0)= 其中 w＝ 3. 试用逐步逼近法求方程组 ＝x x＝ 满足初始条件 x(0)= 的第三次近似解. 解： 0241201 杨素玲