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讲 授 内 容 备 注 第五讲 第二章 一元函数的连续性 四个基本问题：连续性的证明；连续性的应用；一致连续性；函数方程． §2．1 连续函数的证明与应用 一、连续性的证明 要证明一个函数在某区间上连续，只要证明在区间内任意一点，有． ：　1o 在处有定义； 　　　　　　　　　2o 存在极限； 3o 极限值等于函数值． 主要方法如下： 1 ) 定义证明： ，当时，有； 2)　左、右极限证明：； 3)　数列语言证明： ，有； 若存在，有， 则在处不连续． 4)　邻域的语言证明：，使得 　　　　　　 5)　连续函数的运算性质：四则运算、复合函数的连续性、 　　　　　　　　反函数的连续性、初等函数的连续性等． 例1 设定义于内下列每一说法是法否表明在内连续？ (1) 在任意开区间内连续； (2) 在任意闭区间上连续； (3) ，在和上分别连续； (4) ，在和上分别连续． 解答 (1)、(2)均可． 因为，，使得，即，所以在处连续． (3) 不行．令，则所给条件仅表明在处是左连续的，是否是右连续不知道． (4) 可以．与(3)不同，此处为任意的，故此可推出(1)、 (2)． 例2 证明Riemann函数 在无理点上连续，在有理点上间断． 　　证　1o 设为有理点，（为既约分数，），则 由无理点的稠密性，无理点列，．但 ，　　 即　，故在有理点上不连续． 2o　设为无理点，则． 由的定义，的点在上最多只有有限个．事实上，要，必是有理点． 若，，则，有 ． （均为整数，给定后，看作暂时常数．满足上述不等式的只有有限个） 所以，满足不等式的有理数最多只有有限个．彼此之间有间隔，可分离．于是 　　，充分小，使得不含有的点，即　　，有． 所以　在处连续，即在内的无理点上连续． 又因为以1为周期，所以在一切无理点上都连续． 下证以1为周期． 若为无理数，则仍为无理数，有 ． 若为有理数，，（为互质整数），则 （与为互质整数） 故　　． 于是以1为周期． 例3 设函数在上连续且恒大于零．按定义证明：在上连续． 证　因为在上连续，所以在上有最小值． 　　，当时，有 ． 所以，在上连续． 例4　设函数在内有定义，且函数与在内都是单调不减的．试证：在内连续． 　　证　因为 单调不减，所以当时，有 　　　　　　　， 由的单调性知　 　　　　　　　　　　　(1) 所以，在内单调减． 　　存在． 　　因为 单调不减，当时，有 　　　　　　　 令，得　， 　　　　　　　　 (2) 而在内单调减，必有　　　　　(3) （或在(1)中，令，得） 由(2)、(3)可得　　　　　　　　　（右连续） 类似可证　　　　　　　　　　　（左连续） 所以在处连续，由的任意性，在内连续． 例5 设函数在内有定义，且满足 (1) 具有介值性：（即：若，则位于， 　　　　　　　　之间，使得） (2) 对任意有理数，集合为闭集． 试证：在内连续． 　　证（反证法）设在某一点处不连续，则 ，虽然时，但 ． 即，但数列在之外有无穷多项．从而在之外至少一侧（例如右侧）有数列的无穷多项． 　　　　　　　　　 在内任取一有理数， 　　　　　　　　　 由介值性条件，对每一个在，之间，使得 　　　　　　　　　　　　　　 因为，所以 因此是的一个聚点． 由已知条件(2)，知　　　　（闭集） 即与矛盾．　所以在点处连续． 例6 证明：在实轴上连续任何开集的逆像仍为开集．（即：设为轴上的开集，则在轴上为开集） 证　必要性 要证为轴上的开集，即要证明：　　　　　 ，使得 设在轴上连续，因为，所以 既然为轴上的开集，所以 ，使得 据的连续性，对的邻域 ，使得 从而 所以为开集 充分性 已知任何开集的逆像为开集 ， 的逆像为开集 对，，使得 故 ． 所以在处连续，由的任意性，在轴上连续． 例7　已知，　 (1) 求； (2) 在定义域内是否连续？ 　　解　(1)当 时，　　　　　 　　　　 当 时， ． 所以　． 　　(2)　在处，　 　　　　　　　　　 所以在处连续 ，因此在定义域内连续． 例8 设， ． 试问为何值时，函数在内连续． 解　当　，　 　　　　　　，　 　　　　　，　 　　在区间及内为线性函数，显然连续． 在处 　　　所以． ，，所以． 即当，时，在内连续． 例9 证明：1)　若函数，连续，则函数 ，亦连续； 2)　设在上连续，且函数等于三值中介于其他二值之间的那个值．证明：在上连续． 3)　令 为实函数．试证明：连续的充要条件是对任意固定的，都是的连续函数． 证　1) 　 　　　　　 由连续函数的四则运算知，连续． 2)　 　　　　 ． 　　3)　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 由连续函数的运算性质知，