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第22章 一元二次方程 推导: 7.已知一元二次方程的 的一个根为1 ，则方程的另一根为___， m=___： 例6 方程x2?(m?1)x?2m?1?0求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？ 解:??(m?1)2?4(2m?1)?m2?6m?5 ①∵两根互为相反数 ∴两根之和m?1?0,m??1,且??0 ∴m??1时,方程的两根互为相反数. ②∵两根互为倒数 ??m2?6m?5, ∴两根之积2m?1?1 m?1且??0, ∴m?1时,方程的两根互为倒数. ③∵方程一根为0, ∴两根之积2m?1?0 且??0, ∴ 时,方程有一根为零. 引申:1、若ax2?bx?c?0 (a?0 ??0) （1）若两根互为相反数,则b?0; （2）若两根互为倒数,则a?c; （3）若一根为0,则c?0 ; （4）若一根为1,则a?b?c?0 ; （5）若一根为?1,则a?b?c?0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根. 题4. 点p(m,n)既在反比例函数 的 图象上, 又在一次函数 的图象上, 则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1): 解:由已知得, { 即 m·n=－2 m+n=－2 { ∴所求一元二次方程为: 解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1×X2=k+2 又 X12+ X2 2 = 4 即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0 ∵ △= K2-4k-8 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2 解得：k=4 或k=－2 题8 已知方程　　　　　　　　的两个实数根 是　　　且　　　　　 求k的值。 补充规律： 两根均为负的条件： X1+X2 且X1X2 。 两根均为正的条件： X1+X2 且X1X2 。 两根一正一负的条件： X1+X2 且X1X2 。 当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0 一正根， 一负根 △＞0 X1X2＜0 两个正根 △≥0 X1X2＞0 X1+X2＞0 两个负根 △≥0 X1X2＞0 X1+X2＜0 { { { 解:由已知, △= { 即 { m0 m-10 ∴0m1 题9 方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。 * * * 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 探究1：???? 填表，观察、猜想 4 -5 -1,-4 x2+5x +4=0 -10 -3 2,-5 x2+3x-10=0 1 2 1,1 x2-2x+1=0 x1. x2 x1,+ x2 x1,, x2 方程 问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律； ② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律。 根与系数关系 如果关于x的方程 的两根是 , ,则: 如果方程二次项系数不为1呢? 探究2：填写下表： a与c之间关系 a与b之间关系 两根之积 两根之和 两个根 方程 猜想： 如果一元二次方程 的两个根 分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？ 已知：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 。 求证： 如果一元二次方程