处理好猜测与证明的关系(方程组加).docVIP

数学课程对学生推理能力和创新意识的关注 刘晓玫 王尚志 【首都师范大学首都基础教育发展研究院，北京 100037】 [摘要] 学生创新意识和能力的培养是时代和社会发展的需要。在以往的数学教育教学中，我们对演绎推理给与了充分的关注，而对归纳、类比等合情推理强调的不够。，一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学好论证推理；这是他的专业也是他那门科学的特殊标志。然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理；这是他的创造性工作所赖以进行的那种推理。一般的或者对数学友业余爱好的学生也应该体验一下论证推理：虽然它不会有机会去直接接触它，但是他应该获得一个标准，依此他能把现代生活中所碰到的各种所谓证据进行比较。然而在他所有的工作之中他必将需要合情推理。总之，一个对数学有抱负的学生，不管他的兴趣如何，他应该力求学习两种推理：论证推理和合情推理。 在以往的数学教育教学中，我们对演绎推理给予了充分的关注，在我们强调的基础知识、基本技能中，都表现出对逻辑的强调，即给出已知条件，求证一个结论，这是演绎的方法。。因此，种种原因使得我们在过去的数学教育中，对引导学生们试着去推。不利于创新型的人才培养。 课程标准中对推理能力的全面要求，推动了课程实施中对合情推理的关注，新课程的数学实验教材以及当前的数学课堂教学中，也都重视了学生探索、猜测的过程，为学生进行合情推理提供机会。同时，由于评价（尤其是选拔性的考试）的导向作用，我们发现在各种类型的学业评价中也增加了对学生观察、探索、归纳、概括、猜测以及证明等能力的考察。 但是，归纳、类比等推理与演绎推理不同，它们没有固定的程序和具体的步骤，对它们的理解和把握以及运用更多的是需要学生在学习、探索的过程中自己去感悟和体会。因此为学生提供必要的问题情景进行和探索的机会，在解决问题的过程中，让学生们亲自去观察、概括、抽象，进而发现规律并作出相应的猜测，是十分必要的。同样，评价学生的推理能力也需要利用恰当的问题情境，以全面衡量学生的推理能力。 二、提供恰当的问题情境实现推理能力的培养 1、问题情境应有利于使学生感受和经历两种推理的全过程 正因为合情推理的培养需要学生在分析、探索的过程中才能逐渐地体会和领悟，进而加以运用，所以研究和分析如何为学生提供充分的机会和供其探索的恰当的问题就是十分必要的。目前，在有关合情推理的教学和评价方面，广大数学教育工作者和数学教师通过自己的努力，营造出学生观察、思考和探索的气氛，也编制出一些可供学生进行这方面探索的问题以及考察学生推理能力的测试题。如下的一道中考试题从某种程度上来说能够体现对学生归纳和演绎推理的要求。 问题① 老师在黑板上写出三个算式，52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王华接着又写出了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22， 请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； 用文字写出反映上述算式的规律； 证明这个规律的正确性。 事实上，上面问题①的已知条件中，五个等式分两次给出，按照美国数学教育家波利亚的观点，可以将前三个等式称之为启发式联想，因为对这三个等式的观察与分析，能够启发观察者获得对某种规律的初步认识，但这样的认识是模糊的；接下来的等式可以称之为支持性联想，也就是对前面得到的较为模糊的认识的进一步的清晰和认可，这个过程实际上就是获得了猜测的过程。继续下去，对第一个问题的回答，我们可以看成是对前面的猜测进行验证的过程，也可以看成是支持性联想的一部分。而对于第二个问题的回答，就已经是将发现的规律进行一般化的表述，形成猜想了，上述整个过程是合情推理的过程。最后一个小问题则是要求对猜想给出形式化的数学证明，即通过演绎推理完成对结论的证明。 在完成这个问题的解答过程中，既包含了对所给的算式的观察、分析和类比，又要求在此基础上归纳和探索出规律，并进一步对规律进行数学的表述，最后对此规律进行推理证明。因此，笔者认为这样的一个问题就为学生进行合情推理和演绎推理提供了可能，作为试题也能比较全面地考察学生两种推理能力的情况。 当然，我们还可以通过适当的改造，使上述问题有更大的探索、归纳的空间。例如，我们可以让学生自行计算52-32，92-72，152-32等运算后的结果，并尝试寻找这些结果具有的特点或规律（如果学生有困难，可以提示是否能够被2或4等整除），这样学生经历观察、分析抽象、归纳概括以及获得猜测等一系列活动，最后进行演绎证明，使合情推理能力及演绎推理能力得到发展。 上面这个例子中，无论是类比、归纳还是推理证明，都是学生们能够完成的，因此，它既适合对学生相应能力的培养，也适合考察学生相关的能力和水平。 再看下面的例子: 问题② 用计算器计算： 请你猜测的结果为多少？ 对于此问题，学生可以通过观察和分析所