CADCAM应用数学第五章.docVIP

第五章 曲线的拟合与设计 §5-1概述 在前两章，我们讨论了一些用数学方程描述的曲线的曲线和曲面，有许多生产实际问题，例如：飞机机体、汽车车身、船体、汽轮机和水轮机叶片的形状，都是根据风洞试验或水池试验得出来的，无法用数学方程确定，只能用一些离散的型值点来描述，这种曲线和曲面常称为非数学的曲线和曲面，为了进一步分析和加工这种非数学曲线，要将离散的型值点连续化并作出符合要求的曲线。根据离散型值点求出一条连续的曲线，并使它符合实际要求的方法，叫做曲线的拟合 这种数学的和非数学的曲线与曲面，通常都用数控铣床、加工中心或类似机床加工，因此，在数控机床上加工的曲线和曲面有三种类型。 第一类，是由若干段数学曲线和曲面组成的曲线曲面，大多数的机械另件都是属于这一类形状。设计另件时，用圆规和直尺就能绘出由直线、圆弧组成的图形，若是曲面，它常由平面，圆柱面、圆锥面、球面和其它二次曲面等组成，当然，蜗杆的齿面和齿轮的渐开螺旋齿面也属于这一类曲面，但它们很少用数控加工的方法逐点地把齿面加工出来。 第二类，是拟合离散的型值点得出的非数学的曲线或曲面，并且，拟合的曲线或曲面必须按严格的公差要求通过各离散的型值点。船身、飞机、机翼、汽轮机和水轮机叶片等都是属于这一类的曲线和曲面，加工后，必须按给定的型值点的数值和公差进行严格的检查。 第三类，是根据离散的型值点得出的非数学的曲线和曲面，并且它们与各型值点之间没有严格的公差要求，汽车车身外形的曲线或曲面设计，就是这类曲线、曲面的典型例子。 通过实验得出的各型值点，若要用一条曲线表示，即方程： y= (5-1) 能满足各型值点的已知条件，这时代（5-1）是高次多项式，它的系数的解需要个线性方程，显然这是一条非常复杂的曲线，给设计计算带来许多困难，因此要用更简单的曲线来替代，在生产实际中，复杂的曲线往往用若干段简单曲线和直线（如圆弧和直线）相连所代替。 §5-2 圆弧拟合 用直线将各相邻型值点连起来，以分段直线代替复杂曲线的方法叫做线性拟合，分段直线的数目愈多，线性拟合的精度愈高，两相邻型值点之间的数值用线性插补法给出，这种线性拟合可以满足一定的误差要求，但在相邻型值点的斜率，如和是不连续的，有一个跳跃值（）使加工出来的曲线表面很不光顺。（图5-1） 如果需要连续的斜率，则要采用园弧拟合，即用分段的圆弧代替复杂的曲线，并且相邻的二人圆弧有关切线。 下面举一个用线切割机加工机翼模型的例子来说明弧拟合的做法。 某机翼模型的形状如图5-2所示，设；园O的半径为,园的半径为的坐标为；又设机翼上缘的一些离散点现在要用分段园弧光滑地连接这些离散点并使它和圆和园都相切。 从园的方程知道，要确定一个园必须有三个独立的条件，例如，过不在同一直线上的三点可作一个园，已知两点和其中一点的切线斜率也可以确定一个园等等。 所以，我们对上述问题作如下考虑。 过+作园使和园相切，过作园使它和园相切，一般地，过作园使它和园相切，过作园使它和园相切，最后过作园使它和园与园都相切。 由此可知，要确定这些园只要解决下面三类问题就够了。 （1）已知园0和园外两点，求园P，使它通过并且和园相切。 （2）已知园Q和园外一点，求园，使它通过定点,并且和园Q相切于定点。 （3）已知园Q和园，求园P，使它和园O’相切，并且和园Q相切于定点。 由上面的分析可行，切割机翼模型的问题中求园P1属于第一类，求园园P0属于第二类，求园属于第三类，下面就分别对这三类问题进行具体计算。 1、如图5-3所示，定园O的半径是，我们取O点为坐标系的原点。设所求的园P和定园O的切点的坐标为，我们只要确定园P的园心就可以了，因为是它的半径，点是园O和园P的切点，所以P必须在直线上，具有： (5-2) 其中，如果园O和园P内切，如图3-5所示，如果园O和园P外切，则另一方面，P又必须在的垂直平分线上，现在令的中点为B，则： 那么和垂直的一个向量为： 于是P的坐标可写为： 其中表示B点算起到P点的距离，应取正值。 假定时恰好为所求的P，以式（5-2）得到： 展开两边并加以整理，容易得到： 式中已令： 两边平方的结果是： 其中 从此解中 (5-4) 应取正值，如果它有两个解，分别表示内切和外切两种情况，我们可以根据具体情况选取其中的一个解。 将（5-4）代入式（5-3）即得园心P的坐标，P点到A1点的距离就是半径R：