1995年全国士研究生入学统一考试数学二试题.docVIP

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设,则＿＿＿＿＿＿. (2) 微分方程的通解为＿＿＿＿＿＿. (3) 曲线在处的切线方程为＿＿＿＿＿＿. (4) ＿＿＿＿＿＿. (5) 曲线的渐近线方程为＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设和在内有定义,为连续函数,且,有间断点,则 ( ) (A) 必有间断点 (B) 必有间断点 (C) 必有间断点 (D) 必有间断点 (2) 曲线与轴所围图形的面积可表示为 ( ) (A) (B) (C) (D) (3) 设在内可导,且对任意,当时,都有,则 ( ) (A) 对任意 (B) 对任意 (C) 函数单调增加 (D) 函数单调增加 (4) 设函数在上,则或的大小顺序是 ( ) (A) (B) (C) (D) (5) 设可导,,若使在处可导,则必有 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1) 求. (2) 设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,求. (3) 设,且,求. (4) 设试讨论在处的连续性. (5) 求摆线一拱()的弧长. (6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度,已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问为多少时此质点的速度为？并求到此时刻该质点所经过的路程. 四、(本题满分8分) 求函数的最大值和最小值. 五、(本题满分8分) 设是微分方程的一个解,求此微分方程满足条件的特解. 六、(本题满分8分) 如图,设曲线的方程为,且,又分别为该曲线在点处的切线和法线,已知线段的长度为(其中 ),试推导出点的坐标表达式. 七、(本题满分8分) 设,计算. 八、(本题满分8分) 设,且,证明. 1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】 【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则, . 【相关知识点】复合函数求导法则：的导数为. (2)【答案】 【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为, 特征根为,故对应齐次方程的通解为. 设非齐次方程的特解,则,,代入微分方程,得 , 比较系数得故.所以通解为 . 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设是二阶线性非齐次方程 的一个特解.是与之对应的齐次方程 的通解,则是非齐次方程的通解. 2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根； 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根,则通解为 (2) 两个相等的实数根,则通解为 (3) 一对共轭复根,则通解为其中为常数. 3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下： 如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如 的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2. 如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为 , 其中与是次多项式,,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或. (3)【答案】 【解析】切线的斜率为 . 当时,.故所求切线方程为 .化简得 . 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果,则. (4)【答案】 【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令 则 又 , 即 , 所以 . 由夹逼准则,得.即 . (5)【答案】 【解析】函数的定义域为全体实数,且 , 所以曲线只有一条水平渐近线. 【相关