一维单元FEM版本科双语有限元法(哈工程中文版)教案分析.ppt

本章小结 一维单元的线性单元、二次单元、三次单元分布 函数； 一维单元的各类单元形函数确定（利用形函数性质）； 自然坐标系的特点，建立自然坐标系的意义； 局部坐标系、自然坐标系和整体坐标系的关系； 自然坐标系下单元形函数求解； 数值积分的基本思想； 一维问题数值积分的基本步骤； 数值积分积分变换的目的。 重点：各类形函数的确定，在三种坐标系下，单元内任意一点位移的确定方法；自然坐标系下形函数的求解。 难点：自然坐标系下形函数的求解。 Harbin Engineering University 第4章 一维单元 4.1. 线性单元 4.2. 二次单元4.3. 三次单元4.4. 整体、局部和自然坐标系 4.5. 等参数单元 4.6 一维单元ANSYS应用 4.1 线性单元 散热片的温度分布 单元温度线性分布 真实温度曲线 近似温度曲线 温度线性分布： 形函数： 4.1 线性单元 例子：散热片在如下点的温度 (a) X=4cm (b) X=8cm (a) X=4cm, 单元 (2)： (b) X=8cm, 单元 (3)： 4.1 线性单元 二次单元的温度分布： 4.1 二次单元 三次单元温度分布： 4.2 三次单元 ★拉格朗日差值函数： Lagrange interpolation functions 增加函数阶数 由形函数性质：在本身节点为1，其它节点为0： (N-1)-阶插值函数： 4.2 三次单元--- Lagrange差值公式 对二次单元形函数, N-1=2 and K=1,2,3. 1－i，2－k，3－j K=1： K=2： K=3： 4.2 三次单元--- Lagrange差值公式 练习：如何用插值函数得到节点形函数？ 4.3 三次单元 1. 整体和局部坐标关系： 2. 自然与局部坐标关系： 形函数： 局部和自然坐标关系（无量纲自然局部坐标系）： 4.4 整体、局部和自然坐标系 Global Local Node j Node j Node Local ※自然坐标下的线性形函数具有形函数的独特性质 自然坐标下温度分布： i node： 4.4 整体、局部和自然坐标系 Node Node Local j node： 求散热片的温度： 1）在局部坐标系下求X=8cm的温度 2）在自然坐标系下求X=7.5cm的温度 1）在局部坐标系： 2）在自然坐标系： 4.4 整体、局部和自然坐标系 ▲二次单元和三次单元在自然坐标下的形函数 二次单元： 三次单元： 4.4 整体、局部和自然坐标系 例题: 求积分 （a）整体坐标下（b）局部坐标下 （c）自然坐标下 （a）整体坐标下 （b）局部坐标下 （c）自然坐标下？ 位移函数（自然坐标下）： 注： 用一组相同的参数（Si，Sj），定义任意变量 u，T 等 用同样的参数 (Si，Sj）表达几个形状 这样的单元统称等参数单元 isoparametric 有限元通常采用这种单元 4.5 等参数单元 整体坐标下的X 和x的坐标表达: 等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种单元。 等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算仍在前面所表示单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。 等参单元采用等参变换来描述单元的几何特性和力学特性，即采用相同数目的结点参数和相同的插值函数来进行单元几何形状和场函数的变换。借助等参单元，可以对一般的任意几何形状的工程问题方便地进行有限元离散，并且可以采用标准化的数值积分方法计算有限元方程所包含各个矩阵中的元素，从而使编制有限元分析通用程序成为可能 。 4.5 等参数单元 数值积分在无量纲的局部坐标系下（自然坐标） 积分上下限为 from -1 to 1 Guass-legendre 方法 权重和样本点 改变积分上下限为-1到+1，引入函数 λ： 4.6 数值积分: Gauss-legendre方法 使与函数 f(x) 具有相同值 确定积分上下限： 创建函数多项式函数 4.6 数值积分: Gauss-legendre方法 （xi , i=1,2,…,n) ， 二个样本点的Gauss-Legendre 公式需要确定 权重和w1 w2 样本点值 λ1 λ 2 ： 用Legendre插值函数: 多个样本点，见书中表格 4.6 数值积分: Gauss-legendre方法 4.6 数值积分: Gauss-le