必修二章末归纳提升3.pptVIP

分类讨论思想 服/务/教/师 免/费/馈/赠 数学[新课标·必修2] 返回菜单 直线的倾斜角和斜率问题 直线的方程 直线的平行与垂直问题 对称问题 服/务/教/师 免/费/馈/赠 数学[新课标·必修2] 返回菜单 倾斜角和斜率分别从“形”和“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视． (1)对应关系 α≠90°时，k＝tan α. α＝90°时，斜率不存在． (2)单调性 当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞，然后由－∞逐渐增大到0. 经过A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式k＝(x1≠x2)，应注意其适用的条件x1≠x2，当x1＝x2时，直线斜率不存在． 　已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交．求直线l的斜率的取值范围． 【思路点拨】　本题主要考查斜率公式及数形结合思想．根据题意知l介于PA和PB之间，由数形结合知kl≤kPB或kl≥kAP，故由斜率公式求出kPA，kPB即可解决问题． 【规范解答】　P(－1,2)，A(－2，－3)，B(3,0)， kPA＝＝5，kPB＝＝－， 当l由PA变化到与y轴平行时，其倾斜角由α增至90°，斜率变化范围为[5，＋∞)，当l由与y轴平行变化到PB的位置时，其倾斜角由90°增至β，斜率变化范围为， 直线l的斜率的取值范围是[5，＋∞)． 已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)． (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的变化范围． 【解】　(1)由斜率公式得 直线AB的斜率kAB＝＝0， 直线BC的斜率kBC＝＝， 直线AC的斜率kAC＝＝. 故可得AB的倾斜角为0°，BC的倾斜角为60°，AC的倾斜角为30°. (2)如图所示，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kAC增大到kBC，故k的取值范围为. 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件，不能表示所有的直线．直线方程的一般式则可以表示所有直线．在解题的时候，如果没有特别说明，最后的结果都要化成一般式． 　已知在第一象限的ABC中，A(1,1)，B(5,1)，A＝60°，B＝45°，求： 图3－1 (1)AB边所在直线的方程； (2)AC边与BC边所在直线的方程． 【规范解答】　(1)A(1,1)，B(5,1)． AB∥x轴， AB方程为y＝1. (2)A＝60°， kAC＝， AC方程为y－1＝(x－1)，即x－y＋1－＝0. B＝45°，kBC＝－1， BC方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0. 过点A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是(　　) A．x＋y＝5 B．x－y＝5 C．x＋y＝5或x－4y＝0 D．x－y＝5或x＋4y＝0 【解析】　当直线在两坐标轴上的截距a，b都不为零时，可设所求方程为＋＝1，将点A(4,1)代入得：＋＝1，又a＝b，解之得：a＝b＝5，所以所求方程为x＋y－5＝0.当a＝b＝0时直线过原点，又过点A(4,1)，此时所求方程为：y＝x，即x－4y＝0，所以C对． 利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的题型．求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可用如下方法： 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)l1l2时，可令A1B2－A2B1＝0，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况； (2)l1l2时，可利用A1A2＋B1B2＝0直接求参数的值． 　已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得： (1)l1l2；(2)l1l2. 【规范解答】　法一　当m＝0或2时，两直线既不平行，也不垂直； 当m≠0且m≠2时，直线l1，l2的斜率分别为：－，. (1)若l1l2，则－·＝－1，解得m＝. (2)若l1l2，则由－＝得m＝－1或m＝3. 又当m＝3时，l1与l2重合，故m＝3舍去． 故l1l2时，m＝－1. 法二　(1)l1⊥l2，m－2＋3m＝0，m＝. (2)l1∥l2，3－m(m－2)＝0且2m≠6(m－2)， 故m＝－1. 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，分别求满足下列条件直线l′的方程． (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直． 【解】　法一　由题设l的方程可化为y＝－x＋3， l的斜