第十九章第2节特殊的平行四边形菱形.docVIP

知识梳理 菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。 1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、菱形的性质1：菱形的四条边相等。 2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 3、菱形的判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2：四边相等的四边形是菱形。 3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 4：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 4. 菱形的对称性： 菱形既是轴对称图形（关于对角线所在的直线对称）又是中心对称图形（关于对角线交点中心对称）。 5. 菱形的面积： 平行四边形的面积法则适用于求菱形的面积。 菱形的面积=两条对角线的乘积的一半。 说明：要判定四边形是菱形的方法： 法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这是定义证明）。 法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理3） 法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理2） 典型例题 知识点一：菱形的性质 例1：已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E。 求证：∠AFD=∠CBE。 解题后的思考：此题为巩固菱形的性质而设置，同学们要熟练掌握菱形的性质。 例2：如图是菱形花坛ABCD，它的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。 解题后的思考：这是一道合用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题。此题除可用以巩固菱形性质外，还可用不同的方法来计算菱形的面积，要学会熟练、灵活地运用知识。 例3：如图，四边形ABCD是菱形。对角线AC=8㎝，DB=6㎝，DH⊥AB于H。求DH的长。 解题后的思考：此题有一定的灵活性，同学们应在做题时积累经验，以能灵活正确地解题。明白用等积法求高较为便捷。 知识点二：菱形的判定 例4：如图已知：ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。 求证：四边形AFCE是菱形。 解题后的思考：菱形是特殊的平行四边形，在证明菱形的问题时可先证它是平行四边形，再利用其他条件判定它是菱形。 例5：如果将矩形纸片ABCD沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？ 思路分析： 解题后的思考：此题属于结论开放型试题，这类题是中考中的热点题型。同学们不仅要熟悉菱形的判定方法，还要熟悉菱形的性质，以及折叠（轴对称）边角之间的对应关系。 *例6：已知：如图，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，EH⊥AB于H，CD交BE于F。 求证：四边形CEHF为菱形。 解题后的思考：此题图形较为复杂，同学们应具有一定的识图能力，另外还要与以前学过的知识相结合并能灵活应用。 知识点三：矩形、菱形的综合应用 **例7：如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G。 （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论。 解题后的思考：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，但二者间有区别和联系，同学们要熟练掌握它们的性质和判定。 小结：应用菱形判定定理3时，要注意其性质包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直。二者缺一不可，如，对角线互相垂直的四边形是菱形吗？为什么？同时可用右图来证实，虽然对角线AC⊥BD，但它们都不是菱形。 判定菱形的方法有 提分技巧 1、在记忆菱形的性质和判定时应与矩形的性质和判定对比记忆，从边、角、对角线三方面找到它们的区别与联系。 2、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线所在的直线，所以两条对称轴互相垂直。 3、菱形被对角线分成了四个全等的直角三角形，在计算或证明时常用到这个结论。 4、菱形的面积公式是（其中a、b是菱形的两条对角线的长）。即：“菱形的面积等于它的两条对角线的乘积的一半”。还要指出：当不易求出对角线的长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积，即S=底×高。 同步练习（答题时间：60分钟） 1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的中点，则下列式子中一定成立的是（　　　） A. AC=2OE B. BC=2OE C. AD=OE D. OB=OE