关于点共线线共点问题的多种证法.docVIP

关于点共线、线共点问题的多种证法 学生姓名：贾娟 指导教师：杨慧 摘要： 在初等几何中，我们常常会遇到点共线、线共点这方面的问题。而射影几何的基本不变性是点线的结合性，因此点共线、线共点问题是射影几何的主要研究对象之一。对于点共线、线共点问题的解决方法也有很多，本文则主要探讨的是利用射影几何方法与初等几何方法解决这类问题，通过比较发现具体问题用哪种方法更合适，以及解题时需要注意的问题。 关键词： 射影变换 德萨格定理 完全四点形 赛瓦定理 一维基本形的透视对应 作为师范类院校的学生，将来若想成为一名合格的中学数学教师，就必须在学习解析几何的基础上再进一步学习高等几何。而高等几何对中学数学教师几何基础的培养、解题观点的提高、思维方法的多样性等都起着重要的指导作用。对于高等几何到来说，尤其是其中的射影几何，既包含了解析几何中主要研究图形性质的内容，也融合了欧氏几何中主要研究空间几何结构的内容。因此，学习高等几何知识，不仅使我们开阔了几何学的视野，也让我们更好地理解、把握了初等几何的本质。比如初等几何中点共线、线共点的问题，在中学数学教学中既是一个重点也是一个难点。如果只是用初等几何方法去解决，有时会很复杂，相反若要用射影几何中的知识如完全四点形的调和性质、德萨格定理及其逆定理、一维基本形的透视对应性质等知识点来解决，会更简便。这样也为我们提供了多种解决初等几何问题的研究方法。用高等几何的观点指导初等几何的教学内容，进而不断地改进初等几何的教学方式，这样也有助于提高中学几何的教学质量。 1.主要定义及定理 一维基本形的透视对应： 定义1如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做点列与线束之间的透视对应。同理，如果两个点列与同一线束成透视对应，则这两个点列叫做透视点列；如果两个线束与同一点列成透视对应，则这两个线束叫透视线束。 由此可知，两个成透视对应的点列，其对应点之连线共点。两个成透视对应的线束，其对应线之交点共线。 定理1两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应。 完全四点形的调和性质： 定理2设, 是完全四点形的一对对边，它们的交点是对边点，若与其它两对对边点的连线是,,则有. 推论1在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是对边点，另两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点，如图1中，. 推论2在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是顶点，另一个点是这个边与对边三点形的边的交点，如图1中，. 定理3（德萨格定理）如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上。 对偶地，如果两个三点形对应边的交点在一直线上则对应顶点的连线交于一点。 定理4（赛瓦定理）内任取一点，直线分别交对于则: 对偶地，设各是的三边 或其延长线的点，则三线共点或互相平行的充分条件是： 2.射影几何在研究点共线、线共点方面的应用 2.1线共点 例1 证明三角形的三条中线共点。 方法一：（利用德萨格逆定理） 证明 如图2所示，设三边中点分别为，则由三角形中位线定理可知， 对于和,他们的对应边交点共无穷远直线。 由定理3，可知其对应顶点的连线共点. 方法二：（利用完全四点形的调和性质） 证明 如图2所示，设中的中点分别为,连接 与交于点,连接交于点，则只需证为边的中点. 因为四边形为完全四点形，且 三角形中位线平行于第三边 ，则设交于无穷远点，根据完全四点形的调和性质，有 故有 即 因此点为边上的中点.由此得证三角形的的三条中线共点。 方法三：（利用赛瓦定理） 证明 设中的中点分别为,且交于点,连接于交于点，下面只需证明点是边上的中点。 因为 所以 又由定理4得 因此有 即 故为边上的中点，由此得证三角形的三条中线共点。 方法四（利用初等几何方法） 证明 如图2所示，分别是边上的中点，连接交于点，连接交于点,下面只需证明点为边的中点。过点作的平行线且与的延长线交于点，连接.因为边的中点，且，所以，点为边上的中点。又因点为边上的中点，故有 即 因此四边形为平行四边形，故点为平行四边形的对角线的交点 所以点平分，即为边的中点。 由此得证三角形的三条中线共点。 注：由例1的证明过程我们可以看出，上述证法基本上都是先设两中线交于一点，再证该交点与另一顶点的连线与对边的交点为中点。其中方法一、方法二、方法三利用的是射影几何的知识，而方法四是初等几何方法。我们可以看出，当题目较为简单时，利用初等几何方法解决问题同样很简便。但当题目较为复杂时，初等几何的方法是否适用？ 例2 设是完全四点形的对边点，分别交于.证明共点。 方法一（利用完全四点形的调和性质） 证明 如图3所示，在完全四点形中，根据定理1的推论2知，边上的四个点是一组调和点，即