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APOS数学学习理论在教学中的应用 天河区教育局教研室 刘永东 一．问题的提出 从我区数学概念教学实践与资料反馈显示从定义出发介绍符号表达再讨论一系列性质便匆匆进入解题环节重结论轻过程短平快的教学方式希望学生能在熟能生巧中达到对概念的深入理解， ， ， ， -9 ， －x2y+z 3. 练习：分 A、B、C组 (略) 案例2：分析行动报告（节选）的次数不为1这些概念都没有掌握好，不能正确判断0、y、这几个代数式是否属于单项式，这说明学生并没有真正掌握什么是单项式。 初二：对定义、定理、公式理解不够透彻。由于本次期中考的三章内容（《数的开方》、 《整式乘除》和《勾股定理》）中无理数的定义，，“自反抽象”。从而与通常所谓的“经验抽象”有着重要的区别。具体地说，按照皮亚杰的观点所谓的“经验抽象”即是以真实的事物或现象作为直接的原型，也即是由一类物质对象中抽象出共同的特性，与此相反，“自反抽象”却并非是关于物质对象的，而只是涉及到了人类施加于物质对象之上的活动，或者说，这即是对人类自身活动进行反思的直接结果。皮亚杰的这一观点从一个侧面指明了数学学习的一个重要特点，特别是数学抽象活动的间接性。这就是说，数学抽象未必是以真实事物或现象为原型的直接抽象，而也可以是以已经得到建构的数学对象为原型的间接抽象，也即是在更高的层次上去对已有的东西重新进行建构。APOS理论就在于指明了这种建构的途径和方式。无论是“经验抽象”也好，还是“自反抽象”也罢，必须在经过操作、过程、对象、图式等阶段后才能完成数学对象、数学思维的建构和提升。 具体来说，所谓操作是指个体对于感知到的对象进行转换，这个对象实质上是一种外部刺激。举例来说，给出一个函数公式，要求个体计算出在一个给定点的函数值，这就是操作。不断重复这种操作，学生从中得到不断反思，于是就会在大脑中进行一种内部的心理建构，即形成一种过程模式。这种过程模式使得操作呈现出自动化的表现形式，而不再借助于外部的不断刺激。比如一旦学生认识到所谓函数只不过是给定一个不同的数就会得出相应的不同值，而不必再进行具体的运算时，他就已经完成了这种过程模式的建构。而当学生意识到可以把这个过程看作是一个整体，并意识到可以对这个整体进行转换和操作的时候，其实已经把这个过程作为一个一般的数学对象。这时不但可以具体地去指明它所具有的各种性质，如单调性、奇偶性、周期性等，也可以此为对象具体地去实施各种特定的数学演算，如微分运算、积分运算等。从数学的角度看，由“过程”向“对象”的转移其基本意义就是为从更高的层次进行研究开拓了现实的可能性。就如这个例子所表明的那样，只有通过将注意力由主要集中于相应的计算过程转移到函数本身，也即把函数看成一个单一的对象，我们才能进而讨论函数的各种性质，包括各种函数的相互关系及函数的运算等。个体对操作、过程、对象以及他自己头脑中的原有的相关方面的问题图式进行相应整合、精致就会产生出新的问题图式，这种图式的作用和特点就是可以决定某些问题或某类问题是否属于这个图式，从而就会作出不同的反应。显然，个体的思维和认识状况在这种持续建构中已经上升到更高的层次，即对有关概念进行了更高层次的加工和心理表征。 三．基于APOS 理论的教学案例 目前基于APOS 理论的教学案例中，大多运用于数学概念教学实践中。认为： APOS 理论当中的活动阶段相当于观察、呈现数学概念的具体实体阶段；过程阶段则是对具体实体进行思维概括得出数学概念的阶段。但这还没有结束，要对概念有真正的理解，要使数学概念真正在学生头脑中建立起来，还必须上升到对象、图式阶段。对象阶段即是将概念作为一个已知对象应用到它生存的土壤或背景中，并将它作为一个工具， 一个新的对象来看待，即达到了对象阶段。对象阶段过后，概念建立还要进入图式阶段；能够区分、评价此概念与彼概念，这时概念以一种完整的心理图式储存于大脑当中，其中包括具体的实例、抽象的过程，完整的定义及与其他概念的区分与联系等等。同时，还必须注意，APOS 理论的四个阶段(步骤) 一般不能逾越，应当循序渐进。 同时，又不可只停留在具体、直观、视觉化的阶段，必须升华、逐级地抽象，不断地形式化，最后完成数学概念的建立。具体案例见附件，这里不在熬述，我们主要是在探求前面提出的的思考。 请先看在香港考察听到的一节小学3年级的解难策略训练课，其设计大概如案例3所示： 全班20人，这5道题解题错误人数分别为：0—17—12—10—8（按学生举手统计）。在这里，教师很明显的采取建构思维，取得了一定的效果，有不少学生通过建构解决了问题；但总觉得能否有更好的办法来取得更进一步的效果呢？我们尝试用APOS理论来完善一下。如案例4的设计，在实施时增加小组合作学习，恐怕效果会更加突出一些。 案例3：解难策略训练 问题1：裁缝制衣