劇變模型理論與應用.docVIP

劇變理論與應用 文/馮正民、黃昱凱 前言 劇變理論描述系統存在多重穩定點時，控制參數的平滑變化如何影響系統內部結構改變造成不連續的變化。在物理的研究領域中，許多課題都具有非線性的特質，要如何處理非線性中不連續的變化往往是研究者一個挑戰，本文簡述劇變理論的數學架構及其校估方法，提供有興趣以劇變模型研究不連續變化的研究者參考。 I. 劇變理論起源 劇變論（Catastrophe Theory, CT）是法國數學家René Thom（1923-2002）在1970年代所發展的數學架構，與以往微分方程學者所關心的研究焦點不同的是劇變理論特別專注在方程式結構的穩定性、動力的穩定性（描述參數改變時，系統定性性質的變化）以及臨界點集合等特質，並進一步描述這些方程式解所隱含的定性現象，如何隨著方程式中的參數改變而產生的不連續行為。在我們所身處的環境中，除了有極少數的現象是屬於線性系統之外，大部分的現象都是屬於非線性的，在物理領域的研究範圍中絕大部分的研究課題也是屬於非線性系統，對於非線性系統所具有不連續變化的特質，劇變論提供了有利的數學工具讓我們得以討論非線性系統結構的穩定性，並進一步探討所欲研究的模型中，系統微小參數擾動對整體結構穩定的敏感性。 II. 劇變論的數學結構 劇變論主要探討的課題在於系統出現多重穩態（steady state）時，系統由某一穩態*到另一穩態的過程若一個函數的參數在某一範圍內不只有一個極值時，那麼這個系統就有可能處於不穩定狀態。以吸子的概念來描述就是說此定點吸子並不穩定，分歧就是描述這種由定點吸子經由突現而形成n週期的現象，突變模型則是對這樣的分歧現象提供一個幾何分析的數學基礎。 在這裡我們簡單描述劇變論的數學結構：首先任意給定一個系統S，並假定可以使用n個適當的變數x1, x2,…, xn來說明系統S在每一時間所處的狀況X=(x1, x2,…, xn)，變數x1, x2,…, xn稱為系統S的狀態變數（state variable）；其次，假定另外存在著m個獨立變數c1, c2,…, cm，我們可以藉由特定的獨立變數C=(c1, c2,…, cm)組合來表示系統S狀態，變數c1, c2,…, cm稱為控制變數（control variable），每一組控制變數所描述的系統S可以對應出多重的穩定狀態，圖1說明了由兩個控制變數所組成的參數空間與狀態變數間的關係。 圖1 不同參數組合下系統的多重穩定結構* 由圖1可以知道不同的控制變數可能會形成一個定點吸子（如P1與P3）或一個有限循環吸子（如P2）。若系統S為一個動力系統（dynamic system），則任一組控制變數所對應之穩定狀態就是這個動力系統的穩定平衡點（stable equilibrium），劇變論就是在描述（或關心）這些狀態變數發生不連續而突然變化的情況*。 劇變假設系統S存在一個位勢函數（potential functin）f（x, c），則系統S的動力系統可以用位勢函數的位差向量場（gradient vector field）grad f來表示： 上式的動態系統可以下： 若系統在長期的變動下，其狀態變數X可以趨近並維持在同一個位置，則稱X是S的平衡狀態，以ei來表示： 平衡狀態有穩定（attractor）與不穩定（repellor）之分，前者表示該平衡狀態附近的其他狀態均會沿著軌跡線逐漸趨向此平衡位置，相反的情況則為不穩定的平衡點，劇變論特別關心當系統出現多重穩定平衡狀態時，如何描述改變系統控制變數時這些穩定平衡位置的不連續動態變化。 系統的穩定性可以用赫斯判別式（Hessian discriminate）來判定： 當赫斯判別式≧0時，系統只會存在一個（或多個）穩定的平衡點，穩定平衡點的概念可以用吸子（attractor）來描述。若赫斯判別式＜0，則系統除了會有會有一個（或多個）穩定的平衡點外，還會有一個（或多個）不穩定的平衡點，也就是所謂的驅子（repellor）。有別於吸子所描述的系統特性，驅子所描述的系統是指系統若處於某一個參數的時，雖然會平衡狀態，但是此平衡狀態是極度不穩定的，以致於系統一旦偏離此參數組合時，系統將會遠離此平衡狀態。只要系統S具有穩定的平衡點，則我們就可以應用劇變論來分析此系統，Thom根據不同的狀態變數（狀態變數不大於2）與控制變數（控制變數數量不大於4）提出七種劇變模型，在這些模型中，最常被廣泛運用的是尖點劇變模型（Cusp Catastrophe Model: CCM），因此本文僅針對此模型進一步說明。 III. 尖點劇變模型的特徵 CCM是由兩狀態變數u, v）來描述系統的一狀態變數x），u, v）所組成的參數空間也稱為控制空間（control space），CCM的勢函數（potential function）可以