角平分线.ppt

复习 线段的垂直平分线的性质定理 线段的垂直平分线的判定定理 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴ ∠PDO= ∠PEO=900 在△PDO和△PEO中, ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（A.A.S.） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等． 拓展与延伸 小结 * 港中数学网 港中数学网 港中数学网 它们互为？ 逆定理 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ A B C 学习目标 1．掌握角平分线性质定理和逆定理，并能运用这两 个定理证明线段相等和角相等． 2．提高学生对角平分线性质和判定在实际生活中的 应用能力． 3．从对角平分线上的点的“纯粹性”与“完备性”两方面 的考察中，产生几何图形美的情感体验． 学习重难点 重点：角平分线性质定理和逆定理的内容。 难点：角平分线性质定理和逆定理的运用。 A O B C 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折） (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. P A O B C E D 1 2 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE (3)验证猜想 符号语言 ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等） P A O B C E D 1 2 (4)角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等。 注意： 叙述时，条件是3个，缺一不可 判断题（ ） ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴BD = DC ( ) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 × 如图，在Rt△ABC 中， 你能总结一下，证明两条线段相等，除了证它们所在的三角形全等之外，还有什么方法 思考 利用角平分线的性质 A B C BD是角平分线 ， DE⊥AB，垂足为E， E DE与DC 相等吗？ D 答： DE=DC。 ∵ BD是∠ABC的平分线 且DE⊥BA， ∴ DE=DC。 为什么？ DC⊥BC， 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． O C B 1 A 2 P D E 证明： ∵PD⊥OA，PE⊥OB， 在Rt △PDO 与Rt △PEO中 ∴∠PDO= ∠PEO=900 PD=PE（已知） OP=OP（公共边） ∴Rt△PDO≌ Rt △PDO(H.L.) ∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上 角平分线上的点到角两边的距离相等。 逆定理 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 你能证明三角形的三条角平分线交于一点吗？ A C B E D P M H K 如图，在△ABC的 顶点 B的外角的平分线BD与 顶点 C的外角的平分线CE相交于点P． 求证：点Ｐ到三边AB、BC、AC的距离相等． 证明：过点P作PM⊥AB、PK⊥BC、PH⊥AC，垂足分别为M、K、H。 ∵BD平分∠CBM PM⊥AB、PK⊥BC ∴PK＝PM 同理PK＝PH ∴PK＝PM＝PH 即点P到三边AB、BC、AC的距离相等 若求证点P在∠BAC的平分线上，又该如何证明呢？ 证明：过点F作FG⊥AE于G