第四章线性方程组的理论.ppt

第四章 线性方程组的理论 ;第一节 线性方程组有解的条件;行;; 当b’r+1=0时，即r( A )=r =r ( )，方程组AX=b有解，继续对增广矩阵施行初等行变换化为行最简形.;对应的方程组为： ;;② 当r( A )=r ( ) = r＜n时，由增广矩阵化到的 行最简形为：;对应的方程组为： ;;其中k1, k2, ··· , kn-r 为任意常数.;例3 求解非齐次方程组的通解;故方程组有解，且有;?;推论1 当 m=n时，齐次线性方程组 AX= 0 有非零解 的充分必要条件是 |A|=0 .;齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；;例4 求解非齐次线性方程组;例5 求齐次线性方程组的通解;例7;解;(2);即;例7： 设有线性方程组;解： 因为方程的个数与未知量的个数相同，故可从系数矩阵的行列式入手讨论．;故由克拉默法则知，当 ， ， 时,;所以方程组无解． ;当 时， ;当 时， ;取 为自由未知量，得原方程组的同解方程组为 ;定理3 矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件 是r(A) =r(A,B);;注意：;零向量：分量全为零的向量，记作0，即 ;定义2;定义3;向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同.;例1：; 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．;;四、线性方程组的向量表示形式;显然，向量a1,a2, ···,an 是系数矩阵A的列向量组。 即A=(a1,a2, ···,an );例：已知下列方程组的一般形式，求出其矩阵表示形式和向量表示形式; 第三节、向量间的线性关系;定义1：;则称向量 b 是向量组 A 的一个线性组合，或称向量 b 能由向量组 A 线性表示．;例3：向量组中任意一个向量都可以由该向量组本身 来线性表示。;例4：向量 b =(1, 2, 3)T 能不能由下列向量组a1 =(1,2,2)T, a2 =(2,1,2)T, a3 =(1,0,1)T 线性表示.;结论：向量 b 能否由向量组A：a1,a2, ···,am 线性表示 ?方程组 AX=b(a1x1+a2x2+···+amxm=b)是否有解.;例5 证明;故有解，且有;2、向量组间的线性表示;例：;定义3：设向量组B: b1, b2, ···, bt能由向量组A: a1,a2, ···,as线性表示，即存在着数 k1j, k2j, ···, ksj ( j=1,2, …,t )，使; 分析：向量组B: b1, b2, ···, bt能否由向量组A:a1,a2, ···,as 线性表示关键取决于是否存在??数矩阵X，使得 (b1, b2, ···, bt) = (a1,a2, ···,as )X 即矩阵方程 B=AX 是否有解. 其中 A= (a1,a2, ···,as )， B= (b1, b2, ···, bt);引理：若Cs×n = As×t Bt×n，则矩阵C 的列向量组能由矩阵 A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩阵；而矩阵C 的行向量组能由矩阵 B的行向量组线性表示，AT为这一表示的系数矩阵．;证明：⑴ 把矩阵C 和 A 按列分块，则由C= AB 得;⑵ 把矩阵C 和 B 按行分块，则由C= AB 得;命题2：向量组组成的矩阵A经初等行（列）变换得 矩阵B，则A的行（列）向量组与B的行（列） 向量组等价.;定理：若向量组 A可由向量组 B 线性表示，向量组 B可由向量组 C 线性表示，则向量组 A可由向量组 C 线性表示．;显然，向量组间的等价是一种等价关系.;例：;定理2：向量组A:a1,a2, ···,am和向量组B:b1, b2, ···,bs等价;;证明 记 ，根据定理;容易看出矩阵B中有不等于0 的2 阶子式，故;显然，当k1=k2= ··· =km=0时，上式明显成立。 ;注意;例2：对于含有两个向量的向量组，它线性相关的 充要条件是向量的对应分量成比例（共线）.;例3：已知向量组a1, a2, a3 线性无关，b1=a1+a2， b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证 b1, b2, b3 线性无关.;这个结论不能直接推广。;有没有一般性的结论呢？;2）向量组b1,b2,b3是否线性相关，取决于能否找到一组不全为零的数 x