最优控制——最大值原理.ppt

* * 它在区间[0， tf *=3]上满足约束条件。因此，在前面所做的假设是正确的。于是最优控制与最优轨线分别为 而性能泛函的最优值为 * * 例 2.3.2 给定二阶系统的状态方程 求满足约束条件 的控制函数u(t) ，使系统以最短时间从给定的初态 转移到零态，即 其中tf是可变的。 * * 解：这是一个时间最优控制问题，其性能指标泛函为 因此该问题的哈密顿函数为 由此得协态方程为 根据最大值原理，满足约束条件的最优控制是 * * 由于?2(t)=(b－at)在平面t－ ? 2上的图象是一条直线，随着t的增加， ?2(t)只能有一次变号，根据?2(t)是由正变负或由负变正，控制函数u(t)由+1转换为－1或由－1转换为+1，究竟是哪种可能，可以进行试算。 (1) u(t)=+1转换到u(t)=－1 当u(t)=+1时，系统状态方程变为 设在t=?时，控制u(t)由+1转换为－1，这时 * * 当u(t)=－1时，系统状态方程变为 设系统的终端时刻为tf ，则将状态变量的终端条件代入上式后，可得 上式没有??0的解。因此，前面所设的控制u(t)不符合要求。 * * (2) u(t)= － 1转换到u(t)=＋1 当u(t)=－1时，系统状态方程变为 设转换时刻为t=? ，这时 当u(t)=＋1时，系统状态方程变为 * * 以tf为终端时刻，代入终端条件，有 于是，最优控制为 最短时间为 * * * 既然状态变量前r个分量的终态是固定的，它们在性能指标泛函中自然不会出现。也就是说，对应于状态变量这些分量的常数ci等于零。所以最后得 由于?i是待定的常数，所以由上面两式可以得到一个重要的结论：若状态变量的分量xi(t)的终态xi(tf)是固定的，则协态变量与之相应的分量?i(t)的终态?i(tf)是自由的；反之，若状态变量的分量xi(t)的终态xi(tf)是自由的，则协态变量与之相应的分量?i(t)的终态?i(tf)是固定的，且为－ ci。 * * 例 2.2.3 给定系统的状态方程 初始条件 （2.2.23） 和终端条件 （2.2.24） 现在需要确定最优控制u1*(t)和u2*(t)以及最优轨线x1*(t)和x2*(t) ，将系统从t=0时的初态转移到t=1时的终态，并使性能泛函 达到极小值。 （2.2.22） * * 解： 这是一个积分型最优控制问题。应用定理2.1.2来求解，为此构造哈密顿函数 由此可写出协态方程 由于x1(1)和x2(1)都是固定的，所以?1(1)和?2(1)都是自由的，故得协态方程的解为 其中积分常数a和b需要根据另外的条件来确定。下面分三种情况进行讨论。 * * u1(t)和u2(t)都不受约束 此时，当 时，H达到最大值。于是有 * * 将上式代入系统状态方程（2.2.22）并考虑到状态变量的初始条件（2.2.23），可得 代入终端条件（2.2.24），就得到关于a和b的联立方程 由此得到最优控制为 * * 最优轨线为 而性能泛函为 解的曲线如图2-3(a)所示。 * * u1(t)不受约束， u2(t)?1/4 `前面已经指出，对于u2(t)来说，哈密顿函数H的最大值发生在a/2的地方，但是，这时a之值尚不知道，不过从情况1知a=1时， u2(t) =1/2，依此判断，H的最大值现在发生在u2(t) =1/4的地方，因此，取 u2(t) =1/4。 由于u1(t)不受约束 ，所以 将u1(t)和u2(t)代入系统方程（2.2.22）并考虑到状态变量的初始条件（2.2.23），可得 *