【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习：第4章 1 微积分基本定理].docVIP

第四章　 §1 一、选择题 1．(2014·山东师大附中模拟)设a＝cosxdx，b＝sinxdx，下列关系式成立的是(　　) A．ab B.a＋b1 C．ab D.a＋b＝1 [答案]　A [解析]　a＝cosxdx＝sinx|＝sin1，b＝sinxdx＝(－cosx) |＝1－cos1，∴a＝sin1sin＝，又cos1cos＝，∴－cos1－，b＝1－cos11－＝，∴ab，选A. 2．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝2t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间所走的路程为(　　) A.　　　 B.　　　 C．1　　　 D．2 [答案]　C [解析]　所走的路程为2tdt，由定积分的几何意义作图求得2tdt＝1. 3．由曲线y＝ex和x＝0，y＝2围成图形的面积S表示为(　　) A．∫exdx B.2ln2－∫exdx C．∫(2＋ex)dx D.以上都不对 [答案]　B [解析]　如图所示，可先求得由x轴，x＝0，x＝ln2和y＝ex围成的曲边梯形的面积Ⅰ即为∫exdx，再由矩形面积2ln2减去该曲边梯形面积可得所求面积S. 二、填空题 4．根据定积分的几何意义写出下列定积分． (1) xdx＝________；(2)∫cosxdx＝________. [答案]　(1)0　(2)0 [解析]　(1)如答图①所示，－1xdx＝－S＋S＝0. (2)如答图②所示，∫cosxdx＝S1－S2＋S3＝0. 5．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列各式： (1)xdx________x2dx； (2)xdx________xdx； (3)dx________2dx. [答案]　(1)　(2)　(3) [解析]　将定积分大小的比较转化为平面图形面积大小的比较． 三、解答题 6．求定积分2dx的大小． [解析]　 由几何意义知，2dx表示由直线y＝2，x＝－2，x＝2，y＝0所围成的矩形ABCD的面积． 如图所示． 则2dx＝4×2＝8.  一、选择题 1．已知f(x)dx＝4，则(　　) A．2f(x)dx＝1 B.f(x)dx＋f(x)dx＝4 C.f(x)dx＝1 D.f(x)dx＝1 [答案]　B [解析]　利用定积分的性质解决． f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝4. 2.xdx表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为(　　) [答案]　B [解析]　由定积分的几何意义可得． 3．(2014·黄冈检测)如图所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是(　　) A．|(x2－1)dx| B.(x2－1)dx C.|x2－1|dx D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx [答案]　C [解析]　面积S＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝|x2－1|dx，故选C. 4．某汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)时的速度为v(t)＝t2＋2t(单位：km/h)，那么它在3≤t≤4这段时间内行驶的路程s(单位：km)可表示为(　　) A.(t2＋2t)dt B.1dt C．t3＋2t2 D.(t2＋2t)dt [答案]　A [分析]　 物体在某段时间内行驶的路程可以用积分表示，其中被积函数是速度关于时间的函数． [解析]　如图所示，阴影部分的面积表示汽车在3≤t≤4这段时间内行驶的路程s，则s＝v(t)dt＝(t2＋2t)dt.故选A. 归纳总结：实际生活中许多问题都可以用定积分来解决．若质点的速度为v(t)，则它在a≤t≤b这段时间内行驶的路程s＝v(t)dt. 5．由直线y＝x，y＝－x＋1及x轴围成平面图形的面积为(　　) A.[(1－y)－y]dy B． [(－x＋1)－x]dx C． [(1－y)－y]dy D.[x－(－x＋1)]dx [答案]　C [解析]　由直线y＝x，y＝－x＋1及x轴围成的平面图形为图中阴影部分，可转化为以y为积分变量，由图可知y的取值范围是[0，]，再结合定积分的几何意义可知选C项． 二、填空题 6．由定积分的几何意义，则 dx的值(a0)为________． [答案]　a2 [分析]　利用定积分的几何意义：当曲边梯形在x轴上方时，定积分的值取正，为曲边梯形面积． [解析]　此定积分的值可看成曲线y＝，x＝a，x＝－a，y＝0围成的曲边梯形的面积． ∵y＝≥0，即x2＋y2＝a2(y≥0)表示圆心在原点，半径为a的圆在x轴上方的半圆． ∴dx＝a2. [点评]　弄清定积分表示什么图形，并求相应图形的面积，即为所求定积分． 7．若a＝xdx，b＝sinxdx，c＝tanxdx，则三者之间的大小关系为________． [答案]　bac [解析]　x∈(0，)时，sinxxtanx，所以bac. 三、解答题 8．利用定积分的几何意义比较下列各对