浅谈高考数列题的解题策略.docVIP

浅谈高考数列题的解题策略 数列是高中数学的重要内容，也是中学数学联系实际的主渠道之一.它与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切，解题中可能涉及到的的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法与技巧在中学数学中也有着十分重要的地位.因此，围绕数列命制的综合性较强的试题 历年来都是高考的重点和热点 .这些试题主要考察学生的运算能力、逻辑思维能力、分析和解决问题的能力、数学归纳能力及综合创新能力.由于高考数列题常考常新,因此,探求一些常用方法与解题策略是十分重要的.本文就近年高考真题来谈谈数列题的题型与应对的解题策略，希望对同学们的解题有所帮助. 题型一 等差数列与等比数列的证明 翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是否是等差（等比）数列的题目比比皆是，如何处理这些问题呢？主要有两种方法：①利用等差（等比）数列的定义；②运用等差（等比）中项的性质. 例1(2015年高考（江苏）) 设是各项为正数且公差为d的等差数列. （1）证明：依次成等比数列； （2）是否存在，使得依次成等比数列？并说明理由； （3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列？并说明理由. 分析: 在数列中，若且为常数）或 且为常数，，则数列为等差（等比）数列．这是证明数列为等差（等比）数最主要的方法——定义法. （1）证明：因为是同一个常数，所以依次构成等比数列. （2）令，则，，，分别为，，，（，，）． 假设存在，，使得，，，依次构成等比数列， 则，且． 令，则，且（，）， 化简得（），且．将代入（）式， ，则． 显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列． （3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列， 则，且． 分别在两个等式的两边同除以及，并令（，）， 则，且． 将上述两个等式两边取对数，得， 且． 化简得， 且． 再将这两式相除，化简得（）． 令， 则． 令， 则． 令，则． 令，则． 由，， 知，，，在和上均单调． 故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立． 所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列． 点拨：本题主要考查等比数列的性质的前项和为，已知，且 ，其中为常数. （1）求与的值； （2）证明：数列为等差数列. 分析: 是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种方法．其中公式在解题中起到重要作用. 解，，, 由，知 ，即 解得. (2) 由（1）得 ① 所以 ② ②-①得 ③ 所以 ④ ④-③得 即 因为 所以 因为 所以 所以 ， ， 又 所以数列为等差数列 点拨：本题通过公式的使用试图将的关系转化成通项之间的递推关系，学生一般做到③式时，就失去了再做下去的勇气.若再使用一次公式，不仅消去了常数项，还找到了相邻三项之间的关系，真可谓“柳暗花明”！ 题型二 数列的通项与求和 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考察内容.笔者分析近几年高考数学试卷数列部分的命题趋向，发现近年来这部分试题越来越灵活，不再局限于考察学生对等差、等比数列通项和求和公式的直接应用，而是将重点转移到考察学生对公式掌握的熟练程度和综合解决问题的能力.笔者认为要熟练掌握数列通项与求和就必须：①掌握常见的几种数列的求通项与求和的方法；②强化“化生为熟，化繁为简”的解题意识. 例3 （2012年高考（江西文））已知数列的前项和(其中为常数),且(Ⅰ)求(Ⅱ)求数列的前项和进行转换，明确通项公式，然后借助两个已知条件求解，注意对进行验证；第（Ⅱ）问中，根据通项公式结构的特点：一个等差数列与一个等比数列的乘积，故采用错位相减法求解. 解( Ⅰ)当时,则 ,,∴. ∵,即,解得,∴,当时,综上所述(Ⅱ),则 (1) (2) (1)-(2)得 解得： 点拨：本题主要考察等差数列的通项公式和前项和等基础知识，意在考察学生运算能力和分析问题、解决问题的能力. 求数列通项的常用方法有：①定义法；②累差法；③累乘法；④构造法；⑤归纳、猜想法等.数列前n项和常用求法有：①公式法数列与不等式主要以压轴题的形式出现，涉及数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系到函数导数、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点 均在函数的图像上．（1）求数列的通项公式；（2）设