随机过程总复习课件.ppt

解: 练习 练习 解: 重要结论 Brown运动具有Markov性 Brown桥的定义,原定反射的Brown运动的定义,几何Brown运动的定义,有漂移的Brown运动的定义 练习:计算Brown桥的均值,方差,协方差函数. 解: 利用标准布朗运动的矩母函数 计算几何布朗运动 的均值函数与方差函数. 练习: 解: 练习:计算有漂移的Brown运动的均值,方差,协方差函数. 解: 有漂移的Brown运动 * 状态i 非常返 常返 正常返 零常返 平稳分布与极限分布(重点) 研究状态的关系(重点) 练习:设马氏链的状态空间为I = {1，2，3，4}， 其一步转移矩阵为 画出状态转移图. 1 0.6 0.2 0.2 0.7 1 1 2 0.3 3 4 1 练习 设今日有雨，则明日也有雨的概率为0.7，今日无雨明日有雨的概率为0.5，求星期一有雨，星期三也有雨的概率。 解: 其为有两个状态的马尔可夫链，有雨记为1，无雨记为0，一步转移概率矩阵为 例 设马氏链的状态空间为{1,2,3},一步转移矩阵为 解:状态转移图如下: ① ② ③ ① ② ③ 因此,状态3为正常返态,且为吸收态. 因此,状态1和2为非常返态, 练习：设马氏链的状态空间为{1,2},一步转移矩阵为 解: ① ② 练习：设马氏链的状态空间为{1,2},一步转移矩阵为 解: ① ② 状态转移图如右: ① ② 两状态互通，周期为1，故对于不可约的有限马氏链是正常返的. 练习：设马氏链的状态空间为{1,2},一步转移矩阵为 解: 显然,此链具有遍历性。 由 解得 练习：设马氏链的状态空间为{1,2,3},一步转移矩阵为 解: 练习：设马氏链的状态空间为{1,2,3},一步转移矩阵为 解: (3) 经两步转移后处于状态3的概率为 练习:P91,例5.1.2 注:Markov链的转移概率是条件概率. 设马氏链的状态空间为{1,2,3,4},一步转移矩阵为 试研究其状态关系. 解:状态转移图如下: ① ② ③ ④ 练习 状态分为三类{1,2},{3},{4} ① ② ③ ④ 故状态1与2都是正常返状态,又因周期都是1,故都为遍历状态. 故状态3是非常返状态. 故状态4是吸收状态. 练习 设马氏链的状态空间为{1,2},一步转移矩阵为 解： 练习 设马氏链的状态空间为{1,2},一步转移矩阵为 解: 根据实际问题要会求转移概率矩阵,有些实际问题是用频率来估计概率的.如课本P109例5.3.7 Poisson过程和生灭过程是连续时间离散状态的Markov过程. Brown运动是连续时间连续状态的Markov过程. 第六章复习内容 了解上鞅,下鞅,鞅的定义 证明时所用条件期望基本公式 、 上鞅 上鞅 、 下鞅 下鞅 上鞅 下鞅 上鞅 下鞅 上鞅 下鞅 下鞅 上鞅 若 为下鞅， 为上鞅，则有 ( ) 为下鞅 A 为上鞅 B 为下鞅 C 为上鞅 D 练习: 设 为一族独立随机变量序列，且 ，令 则当 时， 关于 是下鞅。 时， 关于 是上鞅。 时， 关于 是鞅。 第七章复习内容 Brown运动的定义 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 所以 解 P 随机过程的数字特征 2．方差函数 1．均值函数 3．协方差函数 注 4．自相关函数 注 Poisson过程及Brown运动的自相关函数及协方差函数等。 5．互协方差函数 6．互相关函数 练习 解 求:(1)均值函数;(2)协方差函数;(3)方差函数。 （1） （2） （3） 练习 解: 练习 解 试求它们的互协方差函数。 所以 1.严平稳过程 定义1 则 称为严平稳过程 若对任意的 和任意的 严平稳过程的有限维分布关于时间是平移不变的. 2.宽平稳过程 定义2 如果它满足： 则称 为宽平稳过程， 简称平稳过程 因为 均值函数 注:(3)可等价描述为: 注2 注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。 因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。 练习