量子力学2s课件.ppt

这个结论不难从薛定谔方程加以证明。事实上： 定义： 利用上式，我们得到 对于平方可积的波函数，Ψ在无穷远处应为零（数学上可证明，这种波函数在 r→∞ 时，渐进行为是 ，故令r→∞时，曲面 S所有面 元都被移到无穷远处，因而上式右边面积分为零，即 即波函数的归一化不随时间改变。 （30） 几率流密度（粒子流密度）守恒定律 我们知道在时刻t，在点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度，它可表为 于是，由上述推导可看出，显然有 即 （31） 此即几率守恒的微分表达式，其形式与流体力学中的连续性方程一样。为说明这个方程和矢量 的物理意义，我们回到几率守恒的积分表达式（30）。从该式可看出：左边表示单位时间内体积V中找到粒子的总几率（或粒子数）的增量， 右边是矢量 在体积V的边界面S上内法线方向上投影的面积分，代表单位时间内通过封闭曲面S流入V的几率（或粒子数），所以具有几率流密度的意义。 [注意：如 因而 ] 假如我们讨论的是带电粒子，它带有电荷e，在归一化意义上，带电粒子在点 处贡献的等效电荷密度为We≡eW，于是以e乘以几率守恒的微分表达式（31），就得到量子力学的电荷守恒定律（微分形式）： 式中 是带电粒子运动所造成的有效电流密度。电荷守恒定律表明，在全空间粒子的电荷总量不随时间变化。 同理可得出量子力学中的质量守恒定律： （微分形式） （积分形式） 不含时间的薛定谔方程，定态 定态 在一般情况下，从初始状态 求 是不容易的（在后面将介绍近似方法求解它）。以下，我们考虑一个很重要的特殊情形——假设势场V不显含时间 t（在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒），此时薛定谔方程（24）可以用分离变量数法求其特解。 令特解为 （38） 代入（24）式，分离变数后，得 其中E是即不依赖于t，也不依赖于 的常量，这样 （39） 的解为 其中C为任意常数。因此特解可表为 （40） 其中常数C已归并到 这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是 按照德布罗意关系，E就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。由此可见，当体系处于（40）式所描写状态时，能量具有确定值E，所以这种状态称为定态，这里与时间无关的波函数 ，是能量为E时的下列方程 之中。 。 （41） 的解。该方程称为不含时间的薛定谔方程。 哈密顿算符、能量本征值方程 以 乘以（39）两边， 乘以（41）两边， 满足下列方程： （42） 可以看出波函数 [由（40 ）式所定义的] （43） 这两个方程类型相同，它们都是以一个算符，作用在波函数Ψ上得出一个数E乘以Ψ。 这表明，算符 和 是相当的，这即可以从它们作用于定态（40）式的结果看出，也可以从薛定谔方程（24）看出，它们作用于体系的任意一个波函数上都是相当的。这两个算符都称为能量算符。如前所述，因为算符 是通过经典力学中的哈密顿函数H=T+V 代换而来的，所以这种算符又称为Hamilton算符，通常以 表示，于是（43）又可写为 （44） 的作用效果 薛定谔方程的普遍形式为 当体系Hamilton 中运动的特殊情况， （45） 不显含时间t时，（45）可以 分离变量。此时，不含时薛定谔方程表为 （46） 对于一个粒子在势场 方程（45）和（46）就化为方程（24）和（41）。对于更复杂的体系，其薛定谔方程的具体表达式，关键在于写出其哈密顿算符。 小结一下： 从数学上讲，对于任何E值，不含时的薛定谔方程（41）都有解，但并非对于一切E值所得出的解 都满足物理上的要求。这要求有的是根据波函数的统计解释而提出的，有的是根据具体的物理情况而提出的，例如束缚态边条件，周期性边条件，散射态边条件等。在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些E值所对应的解才是物理上可以接受的。这些E值称为体系的能量本征值，而相应的解 称为能量本征函数，不含时薛定谔方程（41） 中粒子的能量本征方程。 实际上就是势场 定态的性质和含时薛定谔方程的一般解 由以上讨论可以看到，这归结于求解定态薛定谔方程（41），求出能量的可能值E和波函数 当粒子处于定态时，一切可观测的物理性质都不随时间变化，例如 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 及其本征能量E。 。 粒子在空间的几率密度 以及几率流密度 不随时间变化 任何（不显含t的）力学量平均值不随时间改变： 任何（不显含t的）力学量的测值几率分布也不随时间变化（详见后面有关章节的讨论）。 如果对于同一E值，存在几个线性无关的函数，满足同一定