【数学】算法案例课件(人教A版必修).ppt

《数书九章》——秦九韶算法 式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢十进一的。 * 第一章 算法初步 1.3 算法案例 例：求下面两个正整数的最大公约数： （1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数 25 （1） 5 5 35 7 49 （2） 7 7 63 9 所以，25和35的最大公约数为5 所以，49和63的最大公约数为7 思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？ 例：如何算出8251和6105的最大公约数？ 辗转相除法与更相减损术 一、辗转相除法（欧几里得算法） 1、定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。 2、步骤（以求8251和6105的最大公约数的过程为例） 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146 结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数， 只要求出6105和2146的公约数就可以了。 第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 例： 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数 显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数 思考：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？ S1：用大数除以小数 S2：除数变成被除数，余数变成除数 S3：重复S1，直到余数为0 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。 m = n × q ＋ r 用程序框图表示出右边的过程 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是 否 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？ 程序框图： 开始 输入m,n r=m MOD n m=n r=0? 是 否 n=r 输出m 结束 思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？ 程序： INPUT “m,n=”;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 1.定义：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。 二、更相减损术 2、方法： 例: 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7 INPUT m, n IF mn THEN a=m m=n n=a END IF K=0 WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0 m=m/2 n=n/2 k=k+1 WEND d=m-n WHILE dn IF dn THEN m=d ELSE m=n n=d END IF d=m-n WEND d=2 k*d PRINT d END 思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？ （1）设计求多项式 当x=5时的值的算法，并写出程序。 （2）有没有更高效的算法？能否探求更好的算法，来解决任意多项式的求解问题？ 三、秦九韶算法 引导学生把多项式变形为： 思考：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？