2-4离散时间线性非时变系统和差分方程.pptVIP

2.4离散时间线性非时变系统与差分方程 离散系统的定义 离散系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运算。亦即将一个序列变换成另一个序列的系统，记为 y(n)=T［x(n)］ 通常将上式表示成图2-20所示的框图。 一.离散线性非移变系统及卷积运算(1) 系统的线性特性 满足叠加原理的系统具有线性特性，即若对两个激励x1(n)和x2(n)有 (2) 系统的非移变特性 时不变(Time-Invatiance) 系统的非移变是指系统的参数不随时间而变化。用数学表示为 T［x(n－n0)］=y(n－n0) 即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是出现的时间不同，如图2-22 所示。 (3) 线性非移变系统： 线性时不变系统，简称为：LTI 线性非移变系统就是既满足迭加原理又具有非移变特性的系统，将其描绘如图2-24所示。 单位脉冲（取样）响应（Impulse response） LTI系统对任意输入的响应 (4) 线性卷积（离散卷积）的计算 计算线性卷积有4种方法。 ① 利用两个序列的解析式直接计算。 ② 利用两个序列的移位求和，即先把一个序列倒置。每次将它向下移一步，求出两序列重叠部分乘积之和。 ③ 用作图法求。 ④ 卷积的Matlab实现 离散卷积的计算 三.系统的稳定性与因果性 (1) 稳定性 对于一个系统，当输入序列是有界时，其输出也是有界的，则称它是稳定系统。用数学描述则为 如果 ｜x(n)｜＜∞对于一切n 则 ｜y(n)｜＜∞对于一切n 因为 其中假设｜x(n)｜≤M。 2．因果性 一个系统如果其输出变化不会发生在输入变化之前，则称它是因果的。这就是说对于因果系统，如果取n0 ,当n n0时，x1(n) = x2(n),则n n0时，y1(n)=y2(n)。一个线性非移变系统当n0时的因果充要条件是其单位取样响应等于零,即 h(n)=0 n0 这个充要条件可以从 y（n）＝ x(n)*h(n) 的解析式中导出。 四.线性常系数差分方程 宝山壁画 宝山壁画是引人注目的昂贵文物。此壁画发现于阿鲁科尔沁旗东沙布乡境内。1994年列为“全国十大考古新发现”之一。宝山壁画中最引人注目的是《杨贵妃教鹦鹉图》。该画高0.7米、宽2.3米，用于笔重彩绘制，最突出的表现了 晚唐风格。唐代擅长绘贵妇仕女的大师周昉绘制了《杨贵妃教鹦鹉图》，不仅享誉中原，而且还影响全国各地。发现于阿旗宝山古墓里的这幅画，就是契丹人聘请中原画家按照周氏风格绘制的， 技法深得周氏画风的真传。在唐人真迹稀如星风的今天，能够从中完整了解唐代人物画的杰出成就，堪称美术史研究的辛事。这幅壁画现今保存在阿鲁科尔沁旗博物馆，历经千年，恍如新绘，是该馆的镇馆之宝。 欢迎大家观看！ 定义1 设函数 ，称改变量 为函数 的差分，也称为函数 的一阶差分，记为 ，即 或 一阶差分的差分 称为二阶差分，即 类似地可定义三阶差分，四阶差分，等等. 一般地，函数 的 阶差分的差分称为 阶差分，记为 ，即 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分. 例1 设 ，求 ， ， 解 例2 设 求 解 设 ，则 . 差分满足以下性质： （2） （3） （4） （1） 例3 求 解 由差分的运算性质，有 . 的差分. 二、 差分方程的概念 定义2 含有未知函数 的差分的方程称为差分方程. 或 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为 该差分方程的阶。 差分方程的一般形式： 定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解. 例如，对于差分方程 ，将 代入方程有 故 是该方程的解，易见对任意的常数 都是差分方程 的解. 如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好 等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解. 定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数 的各阶差分均为一次，则称该差分方程为线性 差分方程. 其一般形式为 其特点是 都是一阶的. 三、?线性常系数差分方程 1、差分方程是由函数序列的差分来表示的。 一个函数序列的一阶向后差分表示为： 二阶向后差分表示为： 引入单位延迟算子D，即Dy(n)=y(n-1)。 二阶向后差分可表示为： 类似地，k阶差分表示为： 线性常系数差分方程的一般形式为： 将方程(2. 22)稍加变换后得： 该式说明，系统在某时刻n的输出值y(n)不仅与该时刻的输入x(n)、过去时刻的输入x(n-1)，x(n-2