利用数学建模评阅竞赛试卷.pdf.docVIP

竞赛评判问题 数学与统计学院 学号姓名：郭婷婷 摘要:对数学模型一类竞赛试卷的评阅方法的问题 ,构造了评选方案的 4 个模型 ,借助于计算机模拟 ,对模型给出了结论 ,并对此建立不同的评阅方法. 模型 2 节省劳动 ,模型 3 提高了前 6 名入选概率 ,模型 4 在同概率基础上降低劳动量. 总之 ,这样的竞赛阅卷 ,可结合模型 3 ,4 优缺点 ,综合运用 ,此为最优方案. 关键词:数学模型;评阅竞赛试卷;概率 中图分类号:O242. 1 文献标识码:A 　　在确定各类比赛的优胜者时 ,常要评阅大量答卷. 理想情况是每个裁判看完所有答卷 ,并排序 ,但这样工作量太大 ,为减少工作量 ,且保证一定的概率让最优秀的答卷被选上 ,需要确定一种评卷方式. 设有 P份答卷 , J 位评阅人 ,采取何种排序、打分及其他方法的组合 ,确定一种筛选模式 ,使得最后选中的 W 份试 卷只能来自最好的2 3 W 份试卷 ,并尽可能使每个评阅人所看答卷份数最少. 这里可以取 P = 100 , J = 8 ,W = 3. 1 　模型假设 　　(1) 试卷存在绝对排序 ,即所有裁判都认可的绝对分数; (2) 裁判严厉程度不同 ,此系统偏差大小可由评委过去的记录得到; (3) 裁判对一份试卷评分的偶然误差服从正态分布 N (0 ,σ2 ) ; (4) 100 人的绝对分数近似的正态分布 N (80 ,400) ,划定分数线 ,不妨取:100 ～90 :6 人;80 ～89 :40 人;70 ～ 79 :40 人 ;60 ～ 69 :14 人. 符号说明: N : 　　　裁判评卷总次数; 　　　　Pz : 评出的 3 份最好试卷来自最好 6 人的概率; 　　　　dr ( k) : 第 k 轮删掉的试卷集合; 　　　　shy ( k) : 第 k 轮剩下的试卷集合; 　　　　N dr ( k) : 第 k 轮删掉的试卷数; 　　　　Nshy ( k) : 第 k 轮剩下的试卷数; 　　　　Nc ( k) : 第 k 轮试卷被传阅次数; 　　　　P : 原有试卷总数; 　　　　J : 裁判数 2 　模型建立 根据裁判一直以来的评卷风格 ,分别给每个裁判一加权数ξj (系统偏差) ,使ξj + fij = f i ( f i 为绝对分数) ,将 P 份试卷尽量均分给J 个裁判打分后加权 ,对加权后分数 ff ij 排序. 显然 ,若不存在误判 ,即为 J 份试卷的绝对排序。若存在误判 , f 服从 N (0,σ2 ) ,则 ff 服从 N (0 ,σ2 ) . 模型刻划: min =N max =Pz Ndr (0) = 0 Nshy (0) = P Nshy ( k) =Nshy ( k - 1)- N dr ( k) N =( Nc ( k)*Nshy ( k - 1) ) shy(k+ 1)∪dr (k + 1）= shy ( k) 3 　模型求解 3. 1 　模型 1 　　理想模型 σ = 0. 将试卷平均分配给裁判 ,裁判打分后加权即得绝对分数 ,对试卷总体排序一次 ,前3 名即为最优试卷 ,100 % 保证了最后 3 篇来自前 6 名. 劳动量为 100. 3. 2 　模型 2 　　分数线筛选法 σ 0. 评卷方法: (1) 裁判围坐在圆桌旁; 　　(2将 100 份试卷均分给 8 人 ,打分修正得 ff ij , Zf i= ff ij , ( i = 1 ,2 , P) ,删掉 70分以下的人; 　　(3) 每人将手中剩余卷子交给右边的裁判重新打分 ,修正 ff i （j +1) ; (4)将每份卷子两次修正后的分数平均 Zf i =(ff ij + ff i ( j +1))2 ,删掉80 分以下的;重复(3),将每份卷子3 次修正后的分数平均 Zf i =(2 Zf i + ff i ( j +2) ) 3 ,删掉 90分以下的; (5) 对剩下的试卷重复(3) ,将每份卷子4 次修正后的分数平均 Zf i = (3 Zf i + ff i ( j +2)) 4 ,挑出最好3 份.劳动量 : E ( N )= 100 + 86 + 46 + 6 = 238 计算机进行模拟 , (概率为剩下 3 人来自 6 人的概率) σ = 3 时 ,概率为