方差、标准差课件.pptVIP

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征（二） 方差、标准差 * * 二、用样本的标准差估计总体的标准差 数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述。 为了表示样本数据的波动幅度，通常要求出样本方差或者它的算术平方根（标准差）. （1）方差：设在一组数据，x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数x的差的平方分别是 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，一组数据方差越大，则这组数据波动越大。 那么我们用它们的平均数，即 （2）标准差：我们把数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量。 计算标准差的算法： S2 算出每个样本数据与样本平均数的差 （i 1，2，……，n）； S1 算出样本数据的平均数x； S3 算出 （i 1，2，…，n）； S4 算出 （i 1，2，…，n）这n个数的平均数，即为样本方差s2； S5 算出方差的算术平方根，即为样本标准差s。 例1. 计算数据5，7，7，8，10，11的标准差. 解：S1 x ——————— 8 5+7+7+8+10+11 6 9 4 0 1 1 9 S3 xi－x 2 3 2 0 －1 －1 －3 S2 xi－x 8 8 8 8 8 8 S1 x 11 10 8 7 7 5 数据 xi 例题分析 S4 s2 ——————— 4； 9+1+1+0+4+9 6 S5 . 所以这组数据的标准差是2. 例2. 从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机地抽取10只进行寿命测试，得数据如下（单位：h）: 1458，1395，1562，1614，1351，1490，1478，1382，1536，1496 使用函数型计算器或计算机的Excel软件求样本的平均数x和样本的标准差。 例题分析 解：按键 MODE 2 进入统计计算状态 将计算器存储器设置成初始状态 SHIFT Scl 1458 1395 1562 1614 1351 1490 1478 1382 1536 1496 DT DT DT DT DT DT DT DT DT DT 继续按下表按键 78.座机电话号码 1476.2 显示结果 按键 SHIFT SHIFT xσn x 解3：打开Excel工作表，在一列输入数据，如将10个数据输入A1到A10单元格中. （1）利用求和∑计算它们的和； （2）用函数AVERAGE A1:A10 求它们的平均数； （3）用函数VARPA A1:A10 求它们的方差； （4）用开方函数Sqrt 方差 计算它们的标准差. 例题分析 例3.计算数据89，93，88，91，94，90，88，87的方差和标准差。（标准差结果精确到0.1） 解： . 所以这组数据的方差为5.5，标准差为2.3 . 例4. 从甲、乙两名学生中选拔一人成绩射击比赛，对他们的射击水平进行测试，两人在相同的条件下各射击10次，命中环数如下﹕ 甲﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. （1）计算甲、乙两人射击命中环数的平均数和标准差； （2）比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参赛. 例题分析 解：（1）计算得x甲 7，x乙 7； s甲 1.73，s乙 1.10. （2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相等，但s乙 s甲，这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选乙参赛。 （3）标准差和频率直方图的关系 从标准差的定义可知，如果样本各数据都相等，则标准差得0，这表明数据没有波动幅度，数据没有离散性；若个体的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也很大，数据的离散程度很高，因此标准差描述了数据对平均数的离散程度。 数据离散程度很高 数据没有离散度 频率分布直方图 1.79 0 标准差 3 3 平均数 1 1 3 5 5 3 3 3 3 3 样本数据 B A 再看钢管内径尺寸的例子，它的样本平均数是25.401，样本标准差是0.056，在直方图中用虚线标出平均数所在的位置，并画出距平均数两侧各一倍标准差和两倍标准差的区间。可以看到大约有70%的钢管内径尺寸落在距平均数两侧各一倍标准差的区间内，即 x－s, x+s 大约有95%的钢管内径尺寸落在距平均数两侧各两倍标准差的区间内，即 x－2s, x+2s 。 s s 2s 2s x 例题分析 例5 画出下列四组样本数据的条形图， 说明他们的异同点. 1 ５，５，５，５，５，５，５，５，５； 2 ４，４，４，５，５，５，６，６，６； O 频率 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 （1） O 频率 1.0 0.