第7章随机利率模型0祥解.pptVIP

　　设 。由定理7-2及 可知： 　　因此，当T→∞时R(t，T)→R(t，∞)，其中R(t，∞)为期限无限大时零息债券的收益率。 　　说明： 　　Vasicek模型的不足：该模型下的利率可能以正的概率出现负值。 　　①考虑的时间范围较短时，负利率出现的概率可能很小，此时影响不大； 　　②当考虑的期限很长时，负利率出现的概率及其精确程度等问题就会变得愈发显著而不能忽略。 　　【例题7.4】假设在Vasicek模型中， =0.15， =0.08，初始的短期利率为8.1%短期利率在短时间 内变化的初始标准差为0.023 ，由该模型计算的5年期零息债券的价格为（　　）。[2011年春季真题] 　　A．0.6638　　B．0.6681　　C．0.6723　　D．0.6782　　E．0.6837 　　【答案】C 　　【解析】由 此外，利率风险的市场价格 。于是 　　　　 　　【例题7.5】假设在Vasicek模型中的参数为 =0.1和 =0.1。在此种模型下，初始短期利率均为10％，在一个短时间△t内，短期利率变化的初始标准差为0.02 。则所给出的10年期零息债券的价格为（　　）。 　　A．0.38046　　B．0.36025　　C．0.35698　　D．0.25037　　E．0.24019 　　【答案】A 　　【解析】在Vasicek模型中， =0.1和 =0.1和σ=0.02，得到： 　　　　 　　【例题7.6】证明Vasicek模型下的瞬时远期利率为： （7.11） 其中　　 　　解：由定理7-2及式 可得： 　　由 ， 的定义可得： 　　及 　　将 和 代入可得(7.11)式。 　　　 　§7.5　CIR模型 1．CIR模型及模型求解 　　CIR模型：在一般均衡条件下的经济环境中考虑了利率的期限结构问题的模型。 　　单因素CIR模型的形式为： （7.12） 　　其中α，μ，σ为正的常数。满足(7.12)式的过程称为平方根过程。 　　说明： 　　①CIR模型仍是一个具有均值回复特性的模型。短期利率rt围绕长期均值μ波动； 　　②利率回复到均值的速度由模型中的参数α描述； 　　③CIR模型中它的波动项增加了rt的平方根，保证了利率rt不会出现负值。 　　通过求解 可以得到下面的定理： 　　定理7-3　用 表示自由度为a，非中心参数为b的非中心 分布的密度函数。在CIR模型下，基于t时刻的短期利率rt，未来T (Tt)时刻的rT的条件分布的密度函数为： 　　其中 　　引理7.1　设 是一个 过程，称 为Dynkin算子，则 　　 　　定理7-4　CIR模型下，基于t时刻的短期利率rt，未来T (Tt)时刻rT的条件期望为： 　　条件方差为： 　　特别的，取t=0，