非齐次线性方程组解的结构(第次)精要.pptVIP

《线性代数》 下页 结束 返回 定理1 线性方程组AX＝b有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩. 定理2 对于线性方程组AX＝b有下述结论： 1.如果r(A) ≠r( ),则方程组无解； 2.如果r(A) =r( )=n，则方程组只有惟一解； 3.如果r(A) =r( )n，则方程组有无穷多个解。 线性方程组的解，有下列3种情况： 1. 无解; 2. 有惟一解； 3. 有无穷多个解. x1?x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 0 = 0 有惟一解 有无数解 2 ?1 2 8 0 2 1 1 0 0 1 5 1 2 1 1 2 0 0 1 4 3 0 0 0 0 0 r(A) = r(A, b) = 3 r(A) = r(A, b) 4 2x1+3x2 ?x3 = 1 2x2+x3 = 2 0 = 1 无解 2 3 ?4 1 0 2 1 2 0 0 0 1 r(A) ? r(A, b) 方程组解的情况 求解齐次线性方程组流程图 下页 系数矩阵A 阶梯形矩阵B r(A)=n 唯一零解 行最简形矩阵C 确定自由未知量及约 束未知量,给出一般解 求出基础解系 写出通解 初等行变换 初 等 行 变 换 Y N 初等 行变换 确定方程组的约束未知量和自由未知量方法示意图 下页 对应的变量为约束未知量(r个) 对应的变量为自由未知量(n-r个） 例3．解线性方程组 x1 x1 x1 x2 x2 x2 x3 x3 2x3 x4 3x4 3x4 0 0 0 = = = - - - - + - + - + 解： 1 -1 1 -3 1 -1 -2 3 1 -1 -1 1 A= ? 0 0 1 -2 0 0 0 0 1 -1 0 -1 一般解为 (x2，x4为自由未知量) x1 x3 x2 x2 x4 2x4 = = + + 通解为 得基础解系 x1 x2 x3 x4 + c2 = c1 (c1，c2是任意常数) . 1 0 2 1 1 1 0 0 令 下页 根据向量组线性组合的定义，有 定理3 非齐次线性方程组AX＝b有解的充要条件是：列向量b 是系数矩阵A的n个列向量a1, a2, ??? ，an的线性组合. 即， . 下页 第3节 非齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组为 AX＝b , 则AX＝b可表示为向量组合式 若把矩阵A按列分块为 其中, 3.1 非齐次线性方程组有解的条件 性质3 若h1，h2 是AX?b的解，则h1-h2 是其导出方程组 AX＝o的解. 这是因为 A(h1-h2) ?Ah1-Ah2 =o. ?b- b 性质4 若h是AX?b的解，x导出方程组AX＝o的解, 则 x+h是AX?b的解. 这是因为 A(x＋h) ?Ax＋Ah ?o＋b＝b . 下页 3.2 非齐次线性方程组解的性质 其中，k1, k2, ??? , kn-r为任意常数. 定理4 设h0是AX=b的一个特解，x1, x2, ??? , xn-r是其导出 方程组AX=o的基础解系，则AX=b的通解为 下页 3.3 非齐次线性方程组解的结构 证明 设h是AX=b的任意一个解，则h -h0是其导出方程组 AX=o的一个解，从而可用AX=o的基础解系x1, x2, ??? , xn-r表示， 即 h -h0＝k1x1＋k2x2+…+ kn-rxn-r , 于是AX=b的任一解可表示为 h＝h0+k1x1＋k2x2+…+ kn-rxn-r , k1, k2, ??? , kn-r为任意常数. 求解非齐次线性方程组流程图 下页 增广矩阵(Ab) 阶梯形矩阵B r(Ab)=r(A) 方程组无解 行最简形矩阵C 确定自由未知量及约 束未知量,给出一般解 求AX=o的基础解系 写出通解 初等行变换 N