非线性方程组的数值解法精要.ppt

第六章非线性方程组的迭代解法 6.4 非线性方程组的数值解法 6.4.3　非线性方程组的Newton法 6.4.2 非线性方程组的Newton法 6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法 1.2 学习目标： 设含有n个未知数的n个方程的非线性方程组为 (6,4,1) 其中 为n维列向量， 6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法 中至少有一个是x的非线性函数，并假设自变量和函数值都是实数。多元非线性方程组(6.4.1)与一元非线性方程f(x)=0具有相同的形式，可以与一元非线性方程并行地讨论它的迭代解法。例如不动点迭代法和Newton型迭代法。但是，这里某些定理的证明较为复杂，我们将略去其证明。 (6.4.2) 并构造不动点迭代法 (6.4.3) 把方程组(6.4.1)改写成下面便于迭代的等价形式： 的解。 是方程组 从而 的不动点， 是迭代函数 即 满足 连续函数.则 的 是自变量 是连续的,即 且 收敛， 若由此生成的序列 对于给定的初始点 ) 1 . 4 . 6 ( ) ( ), ( , , , ) ( , ), ( ), ( ) ( , * * * * * 2 1 2 1 ) 0 ( x x x x x x x x x x x x x x n n f f j j j f = L K 例6.11 设有非线性方程组 (6.4.4) 把它写成等价形式 并由此构造不动点迭代法 (6.4.5) 取初始点 。计算结果列于表6－9，可见迭代收敛到方程的解 表 6-9 k 0 1 2 … 18 19 0 0.8 0.928 … 0.999999972 0.999999989 0 0.8 0.931 … 0.999999972 0.999999989 函数也称映射，若函数 的定义域为 ，则可用映射符号 简便地表示为 。为了讨论不动点迭代法（6.4.3）的收敛性，先定义向量值函数的映内性和压缩性。 定义6.3 设有函数 若 则称 在D上是映内的，记做 ，又若存在常数 ，使得 则称 在D上是压缩的，L称为压缩系数 压缩性与所用的向量范数有关，函数 对某种范数是压缩的，对另一种范数可能不是压缩的。 定理6.7（Brouwer不动点定理）若 在有界凸集 上连续并且映内，则 在内 存在不动点。 定理6.8（压缩映射定理）设函数 在闭集 上是映内的，并且对某一种范数是压缩的，压缩系数为L，则（1） 在 上存在唯一的不动点 。 （2）对任何初值 迭代法（6.4.3）生成的序列 且收敛到 ，并且有误差估计式 例6.12 对于例6.11，设 试证：对任何初始点 ，由迭代法（6.4.5）生成的序列的都收敛到方程（6,4.4）在 中的唯一解 证：首先容易算出，对于任何 ，都有 因此，迭代函数 在 上是映内的。进而，对于任何 都有 从而 可见，函数 在上 是压缩的。因此，由定理6.8得知结论成立。 以上讨论了迭代法在 的收敛性，下面讨论局部收敛性。 定义6.4 设 为 的不动点，若存在 的一个领域 ，对一切 ， 由（6.4.3）式产生的序列 且 ，则称 具有局部收敛性。 则 称为p阶收敛 。 定义6.5 设 收敛于 ，存在常数 及常数c0,使 定理6.9 设 ， 为