第四章状态反馈多变量解析.pptVIP

* 四、多变量系统状态反馈 基本思路：若多变量系统(A, B)可控，其极点配置的主要思路是要将其化为单变量系统的极点配置问题，步骤如下： 任取 b?Im(B) , b?0， 找一个状态反馈增益阵K1，使单变量系统 (A+BK1, b) 可控； 对单变量系统(A+BK1, b)配置极点到希望的位置： 因此，找状态反馈增益阵K1是关键。 证明分以下几步完成： 定理4-4 若(A, B)可控，则对B值域中的任一非零向量b，均存在一个状态反馈增益阵K1，使得 (A+BK1 , b) 可控，这里，K1 ?Rp?n。 利用如下结论： 　引理：(见习题4-3) 若(A, B)可控，可选取向量u1, u2, …, un?1(共n?1个！），使得由下式定义的n个向量x1, x2, …, xn 线性无关@p7： 其中b 为B值域中的任一非零向量，xi?Rn?1, ui?Rp?1 2). 定义矩阵 K1?Rp?n ： 即： 3. 证明(A+BK1, b) 可控@p5 定理4-5 若系统(4-1)可控，则存在状态反馈增益阵K，使得A+BK的n个特征值配置到复平面上n个任意给定的位置（复数共軛成对出现）。 证明 首先选取非零向量L，可得 b=BL， 由定理4-4可知存在K1，使 (A+BK1, b) 可控。由单变量极点配置定理可知存在n维行向量k，使得 A+BK1+bk 故只要取 K= K1+Lk 即可证明定理4-5。 证完。 A+BK1+bk =A+BK1+BLk = A+B(K1+Lk) 的特征值可任意配置。但 引理的证明：这里给出一个构造性的证明。 使得 线性无关，但 这里 故 则 注：引理的证明过程实际上给出了如何选取xi 和 ui ,使 从而选取矩阵K1的算法。 证完。 例题 1 系统方程为 试构造K1，使(A+BK1 , b=BL)可控。 解1 (试凑法） 取 x1 = BL =b=[0 1 1]T?0, L=[1 1]T。 考虑 x1=b, xk+1= A xk+ B uk (k=1, 2, … , n?1)， 因为 Ax1=[1 1 1]T 与x1线性无关，故取 x2= Ax1, 也就是可令 u1=[0 0]T 又因为Ax2与x1, x2 构成线性相关组，u2不能取 [0 0]T，可取 u2=[?1 1]T， 这样可得 x3= Ax2+Bu2= [2 0 2] T。 因此，由K1=[u1 u2 0][x1 x2 x3]-1，可得 不难验证(A+BK1 b)可控。 解2 利用引理所给出的算法。取 x1 = Bu1 =b=[0 1 1]T, u1=[1 1]T。 根据引理，取 x1= b1, x2= Ax1+ b1 =Ax1+ Bu1= [1 2 2]T 则显然 x1 和 x2 线性无关。但 Ax2+ b1= [3 3 3]T 却与x1 和 x2 线性相关。因此取 b2=[0 0 1]T, 有 x3= Ax2+ b2 = [3 2 3]T 则x1, x2, x3 构成线性相关组。 这里， u1= [1 1]T, u2= [0 1]T 例题2 系统方程为 欲使闭环系统(A+BK)具有特征值?2, ?2, ? 1?j, 试确定状态反馈增益阵K。 取L =[1 0]T,