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一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的概念 第二章 2.1.1 导数概念的背景 1.自由落体运动的瞬时速度问题 如图, 取极限得 如图, 如果割线MN沿曲线C绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 2.切线问题 2.1.2 导数的定义 定义 其它形式 即 ★ ★ 关于导数的说明： 注意: ★ 例1. 求函数 (C 为常数) 的导数. 解: 即 例2. 求函数 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明： 对一般幂函数 ( 为常数) 例如， （以后将证明） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求函数 的导数. 解: 则 即 类似可证得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 解 例5 解 ★ 2.右导数: 单侧导数 1.左导数: ★ 例6 解 0 三、 导数的几何意义 曲线 在点 的切线斜率为 若 曲线过 上升; 若 曲线过 下降; 若 切线与 x 轴平行, 称为驻点; 若 切线与 x 轴垂直 . 曲线在点 处的 切线方程: 法线方程: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 问曲线 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处 的切线与直线 平行 ? 写出其切线方程. 解: 令 得 对应 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为 即 故在原点 (0 , 0) 有垂直切线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、 函数的可导性与连续性的关系 定理1. 证: 设 在点 x 处可导, 存在 , 因此必有 其中 故 所以函数 在点 x 连续 . 注意: 函数在点 x 连续未必可导. 反例: 在 x = 0 处连续 , 但不可导. 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8 解法一 法二 内容小结 1. 导数的实质: 3. 导数的几何意义: 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 : 6. 判断可导性 不连续, 一定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等. 2. 增量比的极限; 切线的斜率; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 函数 在某点 处的导数 区别: 是函数 , 是数值; 联系: 注意: 有什么区别与联系 ? ？ 与导函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 存在 , 则 3. 已知 则 4. 若 时, 恒有 问 是否在 可导? 解: 由题设 由夹逼准则 故 在 可导, 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 设 , 问 a 取何值时, 在 都存在 , 并求出 解: 故 时 此时 在 都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P85 2 , 5 , 6, 9, 13, 14(2) , 16 , 18 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 牛顿(1642 – 1727) 伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分. 1665年他提出正 流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术, 并于1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 他 还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 . 莱布尼兹(1646 – 1716) 德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为 微积分的创始人 , 他在《学艺》杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中, 有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计 数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 . 备用题 解: 因为 1. 设 存在, 且 求 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 处连续, 且 存在， 证明: 在 处可导. 证：因为 存在， 则有 又 在 处连续, 所以 即 在 处可导. 2. 设 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束