2016高考数学大一轮复习 12.6随机变量的均值与方差教师用书 理 苏教版详解.docVIP

§12.6　随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的概率分布表为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值 称E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称V(X)＝σ2＝(x1－σ)2p1＋(x2－σ)2p2＋…＋(xn－σ)2pn为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)V(aX＋b)＝a2V(X)．(a，b为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝ p ，V(X)＝p(1－p)． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ np ，V(X)＝np(1－p)． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(　√　) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(　√　) (3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时，期望值也增大．(　×　) (4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　×　) 1．某射手射击所得环数ξ的概率分布如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为 ． 答案　0.4 解析　由 可得y＝0.4. 2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)则V(ξ)＝ . 答案　8 解析　E(ξ)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6， V(ξ)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8. 3．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是 ． 答案　0.7 解析　E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7. 4．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则V(X)＝ . 答案　 解析　由题意知取到次品的概率为，∴X～B(3，)， ∴V(X)＝3××(1－)＝. 题型一　离散型随机变量的均值、方差 例1　(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分． (1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的概率分布； (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，V(η)＝，求a∶b∶c. 思维点拨　利用古典概型概率公式求P(ξ)． 解　(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的概率分布为 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由题意知η的概率分布为 η 1 2 3 P 所以E(η)＝＋＋＝， V(η)＝2·＋2·＋2·＝.化简得 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 思维升华　对于均值、方差的计算要尽可能的运用其性质，从而运算简便．运算性质： E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)． 　(2014·山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求： (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的概率分布与均值． 解　(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)， 则P(A3)＝，P(A1)＝，P(A0)＝1－－＝. 记Bj为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为j分”(j＝0,1,3)， 则P(B3)＝，P(B1)＝，P(B0)＝1－－＝. 记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D＝A3B0＋A1B0∪A0B1＋A0B3， 由事件的独立性和互斥性，得 P