关于动磁场对静止粒子运动的影响.docVIP

动磁场对单个带电粒子运动的影响 ——国家A级金刚石膜项目基础理论 于涛 一、牛顿力学的结果 问题描述： 一个静止带正电的粒子在水平面上，质量为，电量为（为正），现有一磁场强度为的磁场以某种运动经过该粒子，现在对粒子的运动进行讨论。 情形一：为常矢量，即磁场匀速通过粒子，不必考虑带电粒子的重力。 磁场经过粒子的速度为，这个速度的方向是一个值得探索的问题，我们不妨设这个速度与水平面的夹角为。首先有一个水平面，后面就不必有这个面，在此为了考虑问题的方便。 图一.磁场运动图 我们以磁场为参考系，则粒子也以速度，以夹角相对于磁场运动。 所受到的洛伦兹力大小为，方向为与水平面成。 我们在纸平面上建立二维坐标系，将速度分解为两个方向： （1） 由洛伦兹力公式和牛顿第二定律可得： （2） 根据（1）式将（2）写成分量式可得： 由矢量的叉乘法则得： 所以： 写成分量式： （3） 这就通过物理知识得到相关的数学表达式，剩下的工作就是将这个微分方程组求解。过程如下： 将（3）中的第一个式子对时间求导得到： 将代入到上式中，得到： （4） 为二阶常系数齐次微分方程。 其特征方程为 有一对共轭复根 所以 根据初始条件： 可以求得 同理可得： 这实际上也可以由圆运动得到，之所以采用数学方法，是为了避免已知的结论的干扰，为下面的讨论（实际也用了这样的方法）打基础。 对于或者悬浮的带电粒子，在磁场参考系中，由自然坐标系可以得到： 其中。 根据空间曲线的相关理论,可以得到： 就是说曲线运动的切向加速度为，法向加速度为，为曲线的曲率半径。 对于第一种情形，的大小不变，故不存在切向加速度。只有法向加速度，根据牛顿第二定律： （5） 解得：。 周期。得到角速度 下面回到地面参考系： 根据相对运动速度合成定理， 其中，分别为牵连速度和相对速度。 所以 （6） 为了直观地描述这个运动，我们把它和纯滚动做一些类比。下图为一纯滚动。 图二.滚轮线产生模型 当这个滚轮向右前进时，质心向右平动，轮子做顺时针转动，轮子的每一点都会形成滚轮线。方程为： 而带电粒子的运动稍有不同，在磁场参考系确定的圆心在地面参考系会做类似的平动，假设向左，粒子做的是逆时针的运动。 曲线的形状也类似于滚轮线。 如果我们选定新的坐标系，使的方向与圆心运动速度一致，坐标原点就选在零时刻粒子的位置上。 （7） 此为坐标系的轨迹方程。 图三.一种形式的滚轮线 情形二：为常矢量，即磁场匀速通过粒子，考虑带电粒子的重力。 接下来的讨论类似于情形一，只是要考虑恒定外力的作用。在现实情况下，适当考虑粒子所受外力（非洛伦兹力）也是有必要的。我们以重力代表恒力的作用，但需要指明恒力更多的是电场力。 改写（2）可以得到 （8） 写成分量式： （9） 仍然可以得到微分方程： （10） 为二阶非齐次微分方程。 根据微分方程的相关理论，其通解为齐次方程的解加上非齐次方程的一个特解。 齐次方程的解为 关键是求出特解。 设特解为，可以确定。 所以 根据初始条件 确定常数的值后得到 同理可求得 显然在这个复杂的式子中我们很难找到粒子的运动规律。我们根据速度的叠加原理，将这个速度进行分解： 我们采用一种很巧妙的方法来解释上面的式子。 图四.巧妙的解决办法示意图 假想一个力与重力平衡，利用洛伦兹力，我们加一个速度，同时加一个抵消掉这一速度，就相当于初始时什么也没有加。 这样的运动效果是什么呢？虽然解析式很难发现规律，但经过上面的简单模型，我们就能够描述这一个运动了。 其实在磁场坐标系中，粒子的运动有三部分叠加： （i）的逆时针圆周运动； ii ，半径为的顺时针圆周运动； iii ，以速度向右的匀速直线运动。 再回到地面参考系，加上磁场所具有的运动。最后粒子的运动实际上有四部分叠加：（i）的逆时针圆周运动； ii ，半径为的顺时针圆周运动； iii ，以速度向右的匀速直线运动;（iiii）的匀速直线运动。 很容易想到磁场经过静止粒子，导致粒子获得了能量。这样通过方程来揭示这其中的原理，超过了牛顿力学的范围，我们将会在下面的理论中进行讨论。 情形三、转动磁场的考虑： 对于等离子层中的电子，只要使最容易到达A板的电子无法到达预定区域就可以控制因为电子轰击板面带来的温度变化。 下面的模型只是为了说明问题，并没有选用电子作为研究对象（避免受力方向判断的麻烦），但道理是一样的。 图五.均匀磁场的转动示意图 仍然考虑带正电粒子初始静止的情形，磁场以匀角速度转动，下面建立坐标系对带电粒子的运动做描述。 建立笛卡尔坐标系如下： 图六.解决问题所选的坐标系 设初始时粒子位于（0，0）点，即坐标原点。时间时粒子的坐标为，实际上这仍为二维问题。 磁场的转轴与轴平行，距离为。 我们由此可以得到磁场的速度场。 如图，设出角， 以为基准，， 以为基准， 由可得， 即