高考中的五大复数热点题型.docVIP

高考中的五大复数热点题型 　　此类题主要考查复数的实部、虚部、模、虚数、纯虚数及共轭复数等概念. 其解法是正确理解概念，充分运用模、纯虚数、共轭复数等性质来解题. 　　例1 （全国新课标卷Ⅰ）若复数z满足（3-4i）z=|4+3i|，则z的虚部为 （ ） 　　A. -4 B. - C. 4 D. 　　分析 求虚部或实部，应先化为标准代数形式a+bi（a，b∈R）. 　　解 由题知z= = = + i，则z的虚部为 . 故选D. 　　评注 求虚部或实部，应注意两点，一是代数形式中a，b必须是实数，二是虚部是实数，即不带i. 　　例2 （山东卷）复数z满足（z-3）（2-i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数z为（ ） 　　A. 2+i B. 2-i C. 5+i D. 5-i 　　分析 先求复数z，再利用共轭复数概念，即实部相等，虚部互为相反数来解决. 　　解 由（z-3）（2-i）=5，得z= +3= +3= +3=2+i+3=5+i，所以z=5-i. 故选D. 　　评注 常见充要条件有：⑴共轭复数？圳实部相同，虚部互为相反数的两个复数；⑵复数是实数？圳虚部为零；⑶纯虚数？圳实部为零，且虚部不为零. 　　例3 （江苏卷）设z=（2-i）2（i为虚数单位），则复数z的模为 . 　　分析 先化简复数z，再运用模的定义. 　　解 z=（2-i）2=3-4i，所以|z|= =5.故填5. 　　评注 本题考查复数的运算、复数的模，应先把复数化成标准的a+bi（a，b∈R）形式，再利用|z|= 求解. 　　此类题主要考查复数对应的向量所在象限，及常见的对应关系，一般用数形结合法来解决. 　　例4 （北京卷）在复平面内，复数（2-i）2对应的点位于（ ） 　　A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 　　分析 先化简复数z，写成a+bi（a，b∈R）形式，再根据（a，b）所在象限，即为复数对应的点的位置. 　　解 （2-i）2=4-4i+i2=3-4i，实部是3，虚部是-4，对应复平面上的点为（3，-4），即在复平面内的第四象限.故选D. 　　例5 （福建卷）已知复数z的共轭复数z=1+2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ） 　　A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 　　分析 先运用共轭复数的定义，得到复数z，再判断所在象限. 　　解 z的共轭复数z=1+2i，则z=1-2i，对应点的坐标为（1，-2），故答案为D. 　　例6 （湖北文科卷）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2-3i，则z2= . 　　分析 由复平面内关于原点对称的坐标关系，从而得到z2. 　　解 由题意，复数z1，z2的实部和虚部都互为相反数.故z2=-2+3i. 　　例7 （广东卷）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ） 　　A. （2，4） B. （2，-4） C. （4，-2） D. （4，2） 　　分析 先求出z，得到实部及虚部，则分别对应横坐标及纵坐标. 　　解 z= =4-2i，对应的点的坐标是（4，-2）.故选C. 　　评注 此类题主要考查坐标系内复数与点的对应关系. 　　此类题主要考查用复数的代数形式的运算法则，进行加、减、乘、除、乘方等计算，注意要掌握常见的结论，如in的周期性，以及（1±i）2=±2i等能提高运算速度. 　　例8 （全国新课标文科卷Ⅰ） =（ ） 　　A. -1- i B. -1+ i C. 1+ i D. 1- i 　　分析 可利用分母实数化来解决. 　　解 = = = i-1. 故选B. 　　例9 （全国大纲卷Ⅰ）（1+ i）3=（ ） 　　A. -8 B. 8 C. -8i D. 8i 　　分析 直接利用公式展开来解决. 　　解 （1+ i）3=1+3× i+3×（ i）2+（ i）3=-8. 故选A. 　　评注 在复数的计算中，熟记常见的结论：（1±i）2=±2i，（1-i）（1+i）=2， =i，in的周期性等，往往能快速解题. 　　此类题主要是求解复数中参数的范围或参数的值. 　　例10 （安徽文科卷）设i是虚数单位，若复数a- （a∈R）是纯虚数，则a的值为（ ） 　　A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 　　分析 先化简，再利用复数是纯虚数的条件即可解决. 　　解 a- =a- =a- =（a-3）-i，由纯虚数的定义，知a-3=0，所以a=3.故选D. 　　例11 （天津卷）已知a，b∈R，i是虚数单位. 若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi= . 　　分析 用复数相等的充要条件，得到