高中数学积分的应用.docVIP

高中数学积分的应用 　　摘 要：主要讨论定积分、二重积分的应用，对定积分以微元法为工具，通过例题具体分析和解决它在变力做功、静水压力和引力计算等物理方面的应用，从而保证工程的稳定性，为结构物的设计提供重要依据。对二重积分，讨论它在求立体体积及非均匀物体的质量等实际问题中的重要作用，通过文中具体例题可以发现二重积分应用性更强。通过研究积分在物理方面的应用，了解积分在现实生活中的重要意义，从而更好地用积分这一数学工具科学地解决问题。 　　关键词： 高中数学；积分； 定积分； 二重积分 　　积分是解决生产生活中有关变量的瞬时变化的重要工具，其理论愈加完善，其应用领域也不断扩大。本文拟讨论积分在解决实际问题中的应用，包括求静水压力、设备重心等，其在实际生产和工程技术中可以保证经济合理和设备安全，为工程设计提供理论计算，具有实际应用价值。许多实际的宏观问题都可以用积分解决，把一般问题放在微观中进行处理，使一般问题特殊化，达到解决问题目的。 　　一、积分的应用 　　积分在物理学中有着广泛且重要的作用，微元法是解决物理问题的常用方法，即从部分到整体的思维方法。用微元法可以使一些复杂的物理问题用熟悉的物理规律迅速解决，使所求问题简单化。 　　（1）积分微元法。设y=f（x）在区间[a，b]上非负且连续，求由曲线y=f（x）及直线x=a，x=b和y=0所围成的曲边梯形。计算所用方法是分割、取近似、求和、取极限。第一步，求出F（x）的微分式dF=f（x）dx。其中f（x）是已知的，F（x）是所要求的。第二步，利用微分式求f（x）在[a，b]上的定积分，即F（b）-F（a）=f（x）dx. 这里，更重要的是如何写出F（x）的微分式。任取微小区间[x，x+△x]，求出△F（x）=F（x+△x）-F（x）≈f（x）△x.当△x→0时，将上面的近似式转变成等式，即dF（x）=f（x）dx.以上方法为定积分的微元法，而且近似公式△F（x）≈F（x）dx转化为等式dF（x）=f（x）dx的关键是：△F（x）与f（x）dx的误差是△x的高阶无穷小（△x→0时）。 　　（2）利用积分求变力做功和抽水做功。 　　定义1：设函数f（x）在区间[a，b]上有定义，在[a，b]内任意插入n-1个分点，a=x0x1x2…xn-1xn=b，记此分法为△.任取ζk∈[xk-1，xk]，k=1，2，…n，作和式 S（△，ζ）=f（ζn）△xk. 其中，△xk=xk-xk-1，ζ={ζk}，S（△，ζ）称为f（x）在[a，b]上的积分和。令d（△）=max{△x1，△x2，…△xn} ，若极限S（△，ζ）=f（ζk）△xk存在，且与分法△及ζ的选取无关，则称f（x）在区间[a，b]可积，称此极限值为函数f（x）在[a，b]上的定积分，即为f（x）dx. 　　定义2：如果一个物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了位移，物理学中就说这个力对物体做了功。计算公式：W=·，W表示功，表示恒力向量，表示使物体位移向量。W=（t）·（t），W表示功，（t）表示随时间t变化的变力，（t）表示位移变量。 　　【变力做功】设物体在变力F（t）作用下沿t轴由a处移到b处，求变力F（t）所做的功。由于力F（t）是关于时间t的变力，所求功是区间[a，b]上非均匀分布的整体量，故可以用定积分来解决。 　　利用微元法的思想，由于变力F（t）是连续且变化的，故可以假设F（t）在微小区间[t，t+△t]上的作用力保持恒定。按照恒力做功公式，求出这一段上变力做功的近似值。 　　如图1所示，建立坐标系，变力F（t）使物体从微小区间[t，t+dt]的左端点t处移动到右端点t+dt处，其所做功w的近似值微元为dW=F（t）dt，将微元dW从a到b求定积分，得F（t）在整个区间[a，b]上所做的功为w=F（t）dt. 　　（图1 变力做功） 　　（3）利用定积分求引力。由万有引力定律知道，自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。两个质量分别为m1和m2，相距为r的质点箭的引力为F=k（k为引力常数）。我们知道，一个均匀细杆和一个质点也会产生引力，由于杆上各点对质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算。下面，我们用定积分的微元法来分析计算这样的实际问题。 　　例如：设有一长度为l，线密度为ρ的均匀细杆，在杆的中垂线上，并且距杆a个单位长度处有一个质量为m的质点M，求细杆对质点的引力。 　　解：用定积分的微元法。①取变量，定区间：取杆的中心为原点，杆位于y轴上，建立坐标系，取y为积分变量，积分区间为[-l，l]。②取近似，找微元：在y的变化区间[-l，l]内，视任一小区间[y，y+dy]对应的一小段细杆为一个质点，其质量为ρdy